两质点 $A$ 和 $B$ 的质量分别为 $3m$ 和 $4m$。它们在光滑水平面上沿同一直线相向运动，并发生正碰。碰撞后瞬间，$A$ 和 $B$ 分别以速率 $\frac u3$ 和 $u$ 同向运动。碰撞过程中，$A$ 受到大小为 $8mu$ 的冲量。

(a) 求 $A$ 和 $B$ 之间的恢复系数。

$A$ 和 $B$ 碰撞时，距一面垂直于其运动方向的光滑竖直墙的距离为 $d$。与 $A$ 碰撞后，质点 $B$ 与墙发生正碰并反弹，随后与 $A$ 发生第二次碰撞。 第二次碰撞发生在距墙 $x$ 的位置。

已知 $B$ 与墙之间的恢复系数为 $\frac14$，

(b) 用 $d$ 表示 $x$。

取碰后共同运动方向为正方向。$A$、$B$ 碰前相向，碰后 $B$ 较快，故将它们的碰前速度分别记为 $v$ 和 $-w$。用等反冲量求出接近速率，再求恢复系数。

Take the common direction after the collision as positive. Let the initial velocities of $A$ and $B$ be $v$ and $-w$ respectively, where $v,w>0$.

The impulse on $A$ acts opposite to the positive direction, so

Hence

The impulse on $B$ is $+8mu$, giving

The speed of separation is $u-u/3=2u/3$, while the speed of approach is $3u+u=4u$. Therefore

先计算 $B$ 撞墙时两粒子的间距，再用反弹后的接近速率求第二次相撞时间。最后乘以 $B$ 的反弹速率，得到它离墙的距离。

After the first collision, $B$ reaches the wall in time $d/u$. During this time, $A$ travels

Thus, when $B$ hits the wall, the gap between the particles is

The rebound speed of $B$ is $u/4$. The particles then approach each other at relative speed

The time from the wall impact to the second collision is

Hence the distance from the wall is

也可从第一次碰撞起比较两粒子到第二次碰撞的总时间。$B$ 的路程分为去墙和离墙两段，速率分别为 $u$ 与 $u/4$。

If the second collision occurs at distance $x$ from the wall, $A$ travels $d-x$ at speed $u/3$. Its travel time is

Particle $B$ travels $d$ to the wall at speed $u$, then travels $x$ at speed $u/4$. Thus

Equating the times,