题目

Problem

A particle $P$ of mass $1.5\,\mathrm{kg}$ moves under the action of a single force $\mathbf{F}$ newtons.

At time $t$ seconds, $t\geqslant0$ , $P$ has velocity $\mathbf{v}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ , where

\mathbf{v}=(5t^2-t^3)\mathbf{i}+(2t^3-8t)\mathbf{j}

(a) Find $\mathbf{F}$ when $t=2$

(4)

At time $t=0$ , $P$ is at the origin $O$ .

(b) Find the position vector of $P$ relative to $O$ at the instant when $P$ is moving in the direction of the vector $\mathbf{j}$

(4)

题目中文翻译

质量为 $1.5\,\mathrm{kg}$ 的质点 $P$ 在单个力 $\mathbf{F}$ 牛顿作用下运动。

在 $t$ 秒时， $t\geqslant0$ ， $P$ 的速度为 $\mathbf{v}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ ，其中

\mathbf{v}=(5t^2-t^3)\mathbf{i}+(2t^3-8t)\mathbf{j}

(a) 求 $t=2$ 时的 $\mathbf{F}$ 。

(4)

在 $t=0$ 时， $P$ 位于原点 $O$ 。

(b) 求 $P$ 沿向量 $\mathbf{j}$ 的方向运动的瞬间，相对于 $O$ 的位置向量。

(4)

解答

(a)

解法一

思路

展开

对速度向量的两个分量分别求导，再用合力等于质量乘加速度。

答题过程

展开

Differentiating the velocity,

\mathbf a=(10t-3t^2)\mathbf i+(6t^2-8)\mathbf j.

At $t=2$ ,

\mathbf a=8\mathbf i+16\mathbf j\text{ m s}^{-2}.

By Newton’s second law, the resultant force is

\boxed{\mathbf F=1.5\mathbf a=(12\mathbf i+24\mathbf j)\text{ N}}.

(b)

解法一

思路

展开

沿正 $\mathbf j$ 方向运动要求水平速度为零、竖直速度为正。不要把初始静止时刻当成有运动方向的时刻。求位置时还须利用初始位置确定积分常数。

答题过程

展开

Motion in the direction of $\mathbf j$ requires

5t^2-t^3=t^2(5-t)=0.

At $t=0$ the particle is at rest, so it has no direction of motion. Thus the required time is $t=5$ s. At this time,

v_j=2(5)^3-8(5)=210>0,

so the direction is indeed positive $\mathbf j$ .

Integrating the velocity and using $\mathbf r(0)=\mathbf0$ ,

\mathbf r=\left(\frac53t^3-\frac14t^4\right)\mathbf i+\left(\frac12t^4-4t^2\right)\mathbf j.

Therefore the position vector is

\boxed{\mathbf r(5)=\left(\frac{625}{12}\mathbf i+\frac{425}{2}\mathbf j\right)\text{ m}}.

M2 2021 June Q2

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程