题目

Problem

The uniform lamina $ABCD$ is a square of side $6a$ . The template $T$ , shown shaded in Figure 1, is formed by removing the right-angled triangle $EFG$ and the circle, centre $H$ and radius $a$ , from the square lamina.

Triangle $EFG$ has $EF=EG=4a$ , with $EF$ parallel to $AB$ and $EG$ parallel to $AD$ . The distance between $AB$ and $EF$ is $a$ and the distance between $AD$ and $EG$ is $a$ .

The point $H$ lies on $AC$ and the distance of $H$ from $BC$ is $2a$ .

(a) Show that the centre of mass of $T$ is a distance $\frac{4(67-3\pi)}{3(28-\pi)}a$ from $AD$ .

(5)

The template $T$ is suspended from the ceiling by two light inextensible vertical strings. One string is attached to $T$ at $A$ and the other string is attached to $T$ at $B$ so that $T$ hangs in equilibrium with $AB$ horizontal.

The weight of $T$ is $W$ . The tension in the string attached to $T$ at $B$ is $kW$ , where $k$ is a constant.

(b) Find the value of $k$ , giving your answer to 2 decimal places.

(3)

题目中文翻译

均匀薄片 $ABCD$ 是边长为 $6a$ 的正方形。图 1 阴影所示的模板 $T$ ，由正方形薄片挖去直角三角形 $EFG$ 和以 $H$ 为圆心、半径为 $a$ 的圆得到。

三角形 $EFG$ 满足 $EF=EG=4a$ ， $EF$ 平行于 $AB$ ， $EG$ 平行于 $AD$ 。 $AB$ 与 $EF$ 之间的距离为 $a$ ， $AD$ 与 $EG$ 之间的距离也为 $a$ 。

$H$ 点位于 $AC$ 上， $H$ 到 $BC$ 的距离为 $2a$ 。

(a) 证明 $T$ 的质心到 $AD$ 的距离为 $\frac{4(67-3\pi)}{3(28-\pi)}a$ 。

(5)

模板 $T$ 由两根不可伸长的竖直轻绳悬挂在天花板上。一根绳连接于 $T$ 的 $A$ 点，另一根连接于 $B$ 点，使 $T$ 平衡悬挂且 $AB$ 水平。

$T$ 的重量为 $W$ 。连接于 $B$ 点的绳中张力为 $kW$ ，其中 $k$ 为常数。

(b) 求 $k$ 的值，答案保留 2 位小数。

(3)

解答

(a)

解法一

思路

展开

薄片密度均匀，可以用面积代替质量取矩。把挖去的三角形和圆当作负面积；三角形重心距其直角顶点为边长的三分之一。

答题过程

展开

Measure horizontal distances from $AD$ towards $BC$ . The original square has area $36a^2$ and centroid distance $3a$ from $AD$ .

The removed right-angled triangle has area

\frac12(4a)(4a)=8a^2,

and its centroid is at distance

a+\frac{4a}{3}=\frac{7a}{3}

from $AD$ . The removed circle has area $\pi a^2$ and centre at distance $6a-2a=4a$ from $AD$ .

Let the required distance be $\bar x$ . Taking moments of areas about $AD$ ,

\begin{align*} (28-\pi)a^2\bar x=&\,36a^2(3a)-8a^2\left(\frac{7a}{3}\right)-\pi a^2(4a),\\ \bar x=&\,\frac{108-56/3-4\pi}{28-\pi}a. \end{align*}

Thus

\boxed{\bar x=\frac{4(67-3\pi)}{3(28-\pi)}a}.

(b)

解法一

思路

展开

两根竖直细绳承受薄片重量。对 $A$ 取矩可消去 $A$ 处张力，而 $B$ 处张力的力臂是 $6a$ ；重力的力臂就是上一问所得的水平距离。

答题过程

展开

Let the tension in the string attached at $B$ be $kW$ . Taking moments about $A$ ,

kW(6a)=W\bar x.

Therefore

k=\frac{\bar x}{6a}=\frac{2(67-3\pi)}{9(28-\pi)}.

To 2 decimal places,

\boxed{k=0.51}.

M2 2021 June Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程