质量分别为 $2\,\mathrm{kg}$ 和 $3\,\mathrm{kg}$ 的两质点 $A$ 和 $B$ 由一根不可伸长的轻绳相连。质点 $A$ 被保持静止在固定粗糙斜坡上的 $X$ 点，斜坡与水平面成 $\theta$ 角，其中 $\tan\theta=\frac5{12}$。绳跨过一个固定在斜坡顶端的小光滑滑轮 $P$。如图 4 所示，质点 $B$ 竖直悬挂于 $P$ 下方，离地 $2\,\mathrm{m}$。

两质点由静止释放，绳绷紧，$A$ 沿斜坡向上运动，且 $A$ 到 $P$ 之间的绳段平行于斜坡的一条最大坡度线。 $A$ 与斜坡之间的摩擦系数为 $\frac38$。

忽略空气阻力。

(a) 求 $A$ 沿斜坡向上运动 $2\,\mathrm{m}$ 时，系统损失的势能。

(b) 求 $A$ 沿斜坡向上运动 $2\,\mathrm{m}$ 时克服摩擦力所做的功。

当 $B$ 撞击地面时，撞击使 $B$ 静止且不反弹，$A$ 继续沿斜坡向上运动。

(c) 利用功—能原理，求 $B$ 撞击地面前一瞬间的速率。

质点 $A$ 在斜坡的 $Y$ 点瞬时静止，其中 $XY=(2+d)\,\mathrm{m}$。

(d) 利用功—能原理求 $d$ 的值。

$B$ 下降 $2$ 米时，$A$ 沿斜面上升 $2$ 米，但竖直高度只增加 $2\sin\theta$。系统损失的势能须扣除 $A$ 增加的势能。

From $\tan\theta=5/12$,

The string is taut, so when $A$ moves 2 m up the ramp, $B$ falls 2 m. The net potential energy lost is

Thus the potential energy lost is

绳沿斜面，不影响支持力。先求支持力及滑动摩擦力，再乘沿斜面的实际路程。

Resolving perpendicular to the ramp,

The frictional force opposing the upward motion is

Hence the work done against friction over 2 m is

Therefore

此时绳仍绷紧，两物体速率相等。用系统损失的势能减去摩擦耗能，得到总质量 $5$ 千克的动能；必须使用未舍入的前两问结果。

Let the common speed immediately before $B$ hits the ground be $v$ m s$^{-1}$. By the work-energy principle,

Thus

Therefore the required speed is

$B$ 落地停止后，$A$ 继续上行会使绳松弛。接下来只计算 $A$ 的动能；其动能用于克服自身重力和摩擦。$d$ 是额外路程，不能再把前面的 $2$ 米计入这一段。

After $B$ stops, the string becomes slack as $A$ continues up the ramp, so the tension is zero. The speed of $A$ just after this event is still $v$.

Applying the work-energy principle to $A$ over the additional distance $d$,

Using $v^2=16g/13$,

Hence