[本题中，单位向量 $\mathbf{i}$ 和 $\mathbf{j}$ 位于一个竖直平面内，$\mathbf{i}$ 为水平方向，$\mathbf{j}$ 竖直向上。]

一个小球从水平地面上的固定点 $A$ 以速度 $(6\mathbf{i}+12\mathbf{j})\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 抛出。如图 5 所示，球在 $B$ 点撞击地面。将球的运动视为质点仅在重力作用下的运动。

(a) 求距离 $AB$。

当球离地面的高度大于 $h$ 米时，球的速率小于 $10\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。

(b) 求 $h$ 的最小可能值。

球位于轨迹上的 $C$ 点时，其运动方向与在 $B$ 点撞击地面前一瞬间的运动方向垂直。

(c) 用 $\mathbf{i}$ 和 $\mathbf{j}$ 表示球位于 $C$ 时的速度。

落地点与起点等高。先用竖直位移为零求非零飞行时间，再乘恒定水平速度。

Let the flight time be $T$ s. Vertically,

Since $T>0$,

The horizontal speed remains 6 m s$^{-1}$, so

Therefore

速率小于 $10$ 并不等于竖直速度小于 $10$。水平分量始终为 $6$，所以临界竖直速度的大小是 $8$。在上升和下降途中，同一高度的速率相同。

At height $y$ metres, let the vertical velocity be $v_y$. Then

The square of the speed is

Hence

Thus the smallest height threshold is

A smaller threshold would include some heights at which the speed is at least 10 m s$^{-1}$.

用机械能也可直接把总速率与高度联系起来，不必先求竖直速度。质量在方程中约去。

Let the mass of the ball be $m$ and its speed at height $y$ be $v$. Conservation of mechanical energy gives

Thus

At the boundary speed $v=10$,

so

Above this height the speed is less than 10 m s$^{-1}$; taking any smaller $h$ would fail the stated condition.

落地前水平分量仍为 $6$，竖直分量变成 $-12$。两方向垂直意味着速度向量的数量积为零，无须先求两个方向角。

Immediately before reaching $B$,

Let the velocity at $C$ be

Since the directions are perpendicular,

Therefore

Hence