题目

Problem

A particle $P$ moves on the $x$ -axis.

At time $t=0$ , $P$ is instantaneously at rest at $O$ .

At time $t$ seconds, $t>0$ , the $x$ coordinate of $P$ is given by

x=2t^{\frac72}-14t^{\frac52}+\frac{56}{3}t^{\frac32}

Find

(a) the non-zero values of $t$ for which $P$ is at instantaneous rest

(3)

(b) the total distance travelled by $P$ in the interval $0\leqslant t\leqslant4$

(3)

题目中文翻译

质点 $P$ 沿 $x$ 轴运动。

在 $t=0$ 时， $P$ 在 $O$ 点瞬时静止。

在 $t$ 秒时， $t>0$ ， $P$ 的 $x$ 坐标为

x=2t^{\frac72}-14t^{\frac52}+\frac{56}{3}t^{\frac32}

求：

(a) $P$ 瞬时静止时 $t$ 的非零值；

(3)

(b) $P$ 在时间区间 $0\leqslant t\leqslant4$ 内运动的总路程；

(3)

解答

(a)

解法一

思路

展开

瞬时静止指速度为零，先对位置函数求导。题目排除零时刻；剩余两个根都要保留。

答题过程

展开

Differentiating $x$ ,

v=7t^{5/2}-35t^{3/2}+28t^{1/2}=7t^{1/2}(t-1)(t-4).

For $t>0$ , $v=0$ gives

(t-1)(t-4)=0.

Hence the non-zero times are

\boxed{t=1\text{ s}\quad\text{and}\quad t=4\text{ s}}.

(b)

解法一

思路

展开

路程不是末位置减初位置。速度在 $t=1$ 时由正变负，须在此分段，并把两段位移的绝对值相加。

答题过程

展开

For $0<t<1$ , $v>0$ ; for $1<t<4$ , $v<0$ . Thus the particle changes direction at $t=1$ .

The positions at the relevant times are

x(0)=0,\qquad x(1)=2-14+\frac{56}{3}=\frac{20}{3},

x(4)=256-448+\frac{448}{3}=-\frac{128}{3}.

Therefore the total distance travelled is

\left|\frac{20}{3}-0\right|+\left|-\frac{128}{3}-\frac{20}{3}\right|=\frac{20}{3}+\frac{148}{3}.

Hence

\boxed{56\text{ m}}.

(c)

解法一

思路

展开

加速度是速度的导数，不是速度除以时间。直接把 $t=4$ 代入导数。

答题过程

展开

Differentiating $v$ ,

a=\frac{35}{2}t^{3/2}-\frac{105}{2}t^{1/2}+14t^{-1/2}.

At $t=4$ ,

a=\frac{35}{2}(8)-\frac{105}{2}(2)+14\left(\frac12\right)=42.

Therefore

\boxed{a=42\text{ m s}^{-2}}.

M2 2021 Oct Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程