固定点 $A$ 位于水平地面上的 $O$ 点正上方 $h$ 米处。

在 $t=0$ 时，将质点 $P$ 从 $A$ 点以速率 $10\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 抛出。质点仅在重力作用下自由运动。在 $t=2.5$ 秒时，$P$ 在 $B$ 点落地。如图 4 所示，$P$ 落地瞬间的速率为 $18\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。

(a) 利用能量关系求 $h$ 的值。

(b) 求距离 $OB$。

在 $P$ 从 $A$ 到 $B$ 的运动过程中，$P$ 的速率小于或等于 $8\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 的时间共为 $T$ 秒。

(c) 求 $T$ 的值。

从 $A$ 到地面只受重力，损失的势能等于动能增加。题目要求用能量关系；计算后续各问时保留未舍入的高度。

Let the mass be $m$. Taking the ground as zero potential energy, conservation of mechanical energy gives

Thus

With $g=9.8$,

先由飞行时间及竖直位移反求初速度的竖直分量，再利用初速率为 $10$ 求水平分量。所求距离从地面上的 $O$ 起算，正好是水平位移。

Let the initial vertical and horizontal velocity components be $u_y$ and $u_x$ respectively. Taking upwards as positive,

Using the unrounded value $h=112/g$,

Since the initial speed is 10 m s$^{-1}$,

Therefore

which gives

速率由两个速度分量合成。水平分量不变，竖直分量随时间线性减小；速率不超过 $8$ 对应两个临界时刻之间的整个区间，求的是两时刻之差。

At time $t$, the velocity components are $u_x$ and $u_y-gt$. Hence

At the boundary speed $v=8$,

Let

The two boundary times are

Both are between 0 and 2.5 s. Between these times, $|u_y-gt|\le q$, so the speed is at most 8 m s$^{-1}$.

Therefore

and hence

也可先用能量找出速率恰为 $8$ 的高度，再解竖直位移方程得到上升、下降经过这一高度的时刻。所求持续时间仍为两根之差。

Let $s$ be height above $A$. Conservation of energy between $A$ and a point where the speed is 8 m s$^{-1}$ gives

Thus the boundary height is

At height $s$, the vertical motion satisfies

The roots are

The particle is above this boundary height between the roots, and its speed is then at most 8 m s$^{-1}$. Thus

Using the unrounded $u_y$ from (b),