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M2 2022 Jan Q3

A Level / Edexcel / M2

IAL 2022 Jan Paper · Question 3

题目

Problem

3.

A particle PP of mass 0.25 kg0.25\,\mathrm{kg} is moving on a smooth horizontal surface under the action of a single force, F\mathbf{F} newtons.

At time tt seconds (t⩾0)(t\geqslant0), the velocity v m s−1\mathbf{v}\,\mathrm{m\,s^{-1}} of PP is given by

v=(6sin⁡3t)i+(1+2cos⁡t)j\mathbf{v}=(6\sin3t)\mathbf{i}+(1+2\cos t)\mathbf{j}

(a) Find F\mathbf{F} in terms of tt.

(3)

At time t=0t=0, the position vector of PP relative to a fixed point OO is (4i−3j) m(4\mathbf{i}-\sqrt3\mathbf{j})\,\mathrm{m}.

(b) Find the position vector of PP relative to OO when PP is first moving parallel to the vector i\mathbf{i}.

(6)
题目中文翻译

质量为 0.25 kg0.25\,\mathrm{kg} 的质点 PP 在光滑水平面上受单个力 F\mathbf{F} 牛顿作用而运动。

在 tt 秒时（t⩾0t\geqslant0），PP 的速度 v m s−1\mathbf{v}\,\mathrm{m\,s^{-1}} 为

v=(6sin⁡3t)i+(1+2cos⁡t)j\mathbf{v}=(6\sin3t)\mathbf{i}+(1+2\cos t)\mathbf{j}

(a) 用 tt 表示 F\mathbf{F}。

(3)

在 t=0t=0 时，PP 相对于固定点 OO 的位置向量为 (4i−3j) m(4\mathbf{i}-\sqrt3\mathbf{j})\,\mathrm{m}。

(b) 求 PP 第一次沿平行于向量 i\mathbf{i} 的方向运动时，相对于 OO 的位置向量。

(6)
题目勘误

官方原题：(b) 要求质点第一次沿平行于 i\mathbf i 的方向运动时的位置。

实际上应为：原速度函数中，凡 j\mathbf j 分量为零，i\mathbf i 分量也同时为零，质点当时静止，不能定义运动方向。评分资料按“第一次竖直速度分量为零”取 t=2π/3t=2\pi/3 并计算位置，但这不满足严格的非零运动方向条件。

本页保留官方英文及忠实翻译，未改速度函数或条件；解答分别说明严格结论和评分资料的预期计算，未查到明确官方更正。

解答

(a)

解法一

思路

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对速度分别求导，然后乘质量。题目所求是力向量，不能只求加速度或力的大小。三角函数自变量以弧度计。

答题过程

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Differentiating the velocity,

a=18cos⁡3t i−2sin⁡t j.\mathbf a=18\cos3t\,\mathbf i-2\sin t\,\mathbf j.

Using F=ma\mathbf F=m\mathbf a with m=0.25m=0.25 kg,

F=(92cos⁡3t i−12sin⁡t j) N.\boxed{\mathbf F=\left(\frac92\cos3t\,\mathbf i-\frac12\sin t\,\mathbf j\right)\text{ N}}.

(b)

解法一

思路

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原题存在零速度问题：令竖直速度为零时，水平速度也同时为零，不能说质点此时沿某方向运动。先说明严格题意无这样的非零速度时刻，再按评分标准的预期条件“第一次竖直速度分量为零”计算位置。积分常数必须由初始位置确定，不能直接照抄初始位置向量。

答题过程

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For a non-zero velocity parallel to i\mathbf i, the j\mathbf j component must be zero and the i\mathbf i component must be non-zero. However,

1+2cos⁡t=0⟹cos⁡t=−12.1+2\cos t=0\quad\Longrightarrow\quad\cos t=-\frac12.

Using the triple-angle identity,

sin⁡3t=sin⁡t(4cos⁡2t−1)=0.\sin3t=\sin t(4\cos^2t-1)=0.

Thus both velocity components vanish whenever the j\mathbf j component is zero. The particle is then at rest, so under the literal requirement of a non-zero direction of motion, there is no such time.

For the intended calculation in the mark scheme, interpret the condition as the first time at which the j\mathbf j velocity component is zero. The first such time is

t0=2π3 s.t_0=\frac{2\pi}{3}\text{ s}.

Integrating the velocity gives

r=(−2cos⁡3t+Cx)i+(t+2sin⁡t+Cy)j.\mathbf r=(-2\cos3t+C_x)\mathbf i+(t+2\sin t+C_y)\mathbf j.

Since r(0)=4i−3j\mathbf r(0)=4\mathbf i-\sqrt3\mathbf j,

−2+Cx=4,Cy=−3.-2+C_x=4,\qquad C_y=-\sqrt3.

Hence

r=(6−2cos⁡3t)i+(t+2sin⁡t−3)j.\mathbf r=(6-2\cos3t)\mathbf i+(t+2\sin t-\sqrt3)\mathbf j.

At t0=2π/3t_0=2\pi/3,

cos⁡3t0=1,sin⁡t0=32.\cos3t_0=1,\qquad\sin t_0=\frac{\sqrt3}{2}.

Therefore the position at this first zero-vertical-component time is

r(t0)=(4i+2π3j) m.\boxed{\mathbf r(t_0)=\left(4\mathbf i+\frac{2\pi}{3}\mathbf j\right)\text{ m}}.

This is the mark scheme’s intended position, but the velocity there is zero rather than a non-zero velocity parallel to i\mathbf i.

卓老师温馨提醒

官方评分标准只令速度的 j\mathbf j 分量为零，取 t=2π/3t=2\pi/3 并积分求得上述位置。回代原速度，两分量均为零；实际上所有使竖直速度为零的时刻都如此。因此“沿 i\mathbf i 方向运动”的严格非零方向条件不能成立。本页保留原题，分别说明严格结论与评分资料的预期计算；未查到明确官方更正，不据此保证对争议作答的考试给分。