一个光滑实心半球被固定，其平面与粗糙水平地面接触。半球的球心为 $O$，半径为 $5a$。 长为 $16a$、重为 $W$ 的均匀杆 $AB$ 支承在半球上并处于平衡状态，$A$ 端位于地面上。如图 1 所示，杆与半球在 $C$ 点接触，其中 $AC=12a$，$\angle CAO=\alpha$。

$A$、$C$、$B$、$O$ 各点均位于同一竖直平面内。

(a) 解释为什么 $AO=13a$。

杆在 $C$ 点所受的法向反作用力大小为 $kW$。

(b) 证明 $k=\frac8{13}$。

杆在 $A$ 点所受合力的大小为 $R$，方向与水平面成 $\theta^\circ$ 角斜向上。

(c) 求：

(i) 用 $W$ 表示的 $R$ 的表达式；

(ii) $\theta$ 的值。

杆与半球截面相切，接触点的半径垂直切线，所以能使用勾股定理；仅列出 $5$、$12$、$13$ 而不解释直角还不充分。

The rod is tangent to the circular cross-section at $C$, so $OC\perp AC$. Thus triangle $ACO$ is right-angled at $C$ and

光滑接触力沿半径，垂直于杆。对 $A$ 取矩，重力作用点为杆中点，距 $A$ 为 $8a$。

From the right-angled triangle,

The reaction at $C$ is perpendicular to the rod. Taking moments about $A$,

Hence

$A$ 处合力由水平摩擦力与竖直支持力组成。先求两个分量，再求模和方向；不能把合力直接当成竖直支持力。

Let the components of the force at $A$ be $H$ horizontally towards $O$ and $V$ vertically upwards. The force at $C$ has magnitude $8W/13$ and acts upwards and to the left, perpendicular to the rod.

Resolving horizontally,

Resolving vertically,

so

Therefore, for (i),

Since $40^2+73^2=169(41)$,

For (ii), since both components are positive,

Hence

选沿杆和垂直杆的方向分解，可以直接把接触点反力放在一个坐标方向。最后的方向角要加上杆相对于水平的角度。

Resolve the force at $A$ into a component $P$ along the rod from $A$ towards $B$, and a component $Q$ perpendicular to the rod, upwards and to the left.

Resolving parallel to the rod,

Resolving perpendicular to the rod,

so

Thus, for (i),

The force makes angle $\tan^{-1}(Q/P)$ above the rod. Therefore, for (ii),

Hence