题目

Problem

At time $t$ seconds, $t\geqslant0$ , a particle $P$ has position vector $\mathbf{r}$ metres with respect to a fixed origin $O$ , where

\mathbf{r}=(t^3-8t)\mathbf{i}+\big(\tfrac13t^3-t^2+2t\big)\mathbf{j}

(a) Find the acceleration of $P$ when $t=4$

(5)

At time $T$ seconds, $T\geqslant0$ , $P$ is moving in the direction of $(2\mathbf{i}+\mathbf{j})$

(b) Find the value of $T$

(3)

题目中文翻译

在 $t$ 秒时， $t\geqslant0$ ，质点 $P$ 相对于固定原点 $O$ 的位置向量为 $\mathbf{r}$ 米，其中

\mathbf{r}=(t^3-8t)\mathbf{i}+\big(\tfrac13t^3-t^2+2t\big)\mathbf{j}

(a) 求 $t=4$ 时 $P$ 的加速度。

(5)

在 $T$ 秒时， $T\geqslant0$ ， $P$ 沿 $(2\mathbf{i}+\mathbf{j})$ 的方向运动。

(b) 求 $T$ 的值。

(3)

解答

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加速度是位置向量对时间的二阶导数。两次求导后再代入 $t=4$ ，保留向量形式。

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Differentiating the position vector,

\mathbf v=(3t^2-8)\mathbf i+(t^2-2t+2)\mathbf j.

Differentiating again,

\mathbf a=6t\,\mathbf i+(2t-2)\mathbf j.

At $t=4$ ,

\boxed{\mathbf a=(24\mathbf i+6\mathbf j)\text{ m s}^{-2}}.

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所求是速度的方向，不是位置方向。两分量应成 $2:1$ ，解出非负时间后还须检查是否与给定向量同向。

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For motion in the direction of $2\mathbf i+\mathbf j$ , the velocity components satisfy

3T^2-8=2(T^2-2T+2).

Hence

T^2+4T-12=0,\qquad(T+6)(T-2)=0.

Since $T\ge0$ , $T=2$ . At this time,

\mathbf v(2)=4\mathbf i+2\mathbf j=2(2\mathbf i+\mathbf j),

so the direction is the required one. Thus

\boxed{T=2\text{ s}}.