题目

Problem

A particle $P$ of mass $0.5\,\mathrm{kg}$ is moving with velocity $\lambda(\mathbf{i}+\mathbf{j})\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ when $P$ receives an impulse of magnitude $\sqrt{\frac52}\,\mathrm{N\,s}$

Immediately after $P$ receives the impulse, the velocity of $P$ is $4\mathbf{i}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ Given that $\lambda$ is a constant, find the two possible values of $\lambda$

(6)

题目中文翻译

质量为 $0.5\,\mathrm{kg}$ 的质点 $P$ 正以速度 $\lambda(\mathbf{i}+\mathbf{j})\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 运动，随后受到大小为 $\sqrt{\frac52}\,\mathrm{N\,s}$ 的冲量。

受到冲量后瞬间， $P$ 的速度为 $4\mathbf{i}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 。已知 $\lambda$ 为常数，求 $\lambda$ 的两个可能值。

(6)

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解法一

思路

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先写冲量向量，再把两个分量平方相加，等于已知冲量大小的平方。不要把冲量大小直接等同于某一个分量。

答题过程

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The impulse equals the change in momentum:

\mathbf I=0.5\bigl[4\mathbf i-\lambda(\mathbf i+\mathbf j)\bigr].

Thus

\mathbf I=\frac{4-\lambda}{2}\mathbf i-\frac\lambda2\mathbf j.

Using the given magnitude,

\left(\frac{4-\lambda}{2}\right)^2+\left(-\frac\lambda2\right)^2=\frac52.

Multiplying by 4 and expanding,

(4-\lambda)^2+\lambda^2=10,

2\lambda^2-8\lambda+6=0.

Therefore

(\lambda-1)(\lambda-3)=0,

and the two possible values are

\boxed{\lambda=1\quad\text{or}\quad\lambda=3}.

M2 2022 June Q3

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