题目

Problem

Two particles, $P$ and $Q$ , are moving in opposite directions along the same straight line on a smooth horizontal surface so that the particles collide directly. The mass of $P$ is $km$ and the mass of $Q$ is $m$ . Immediately before the collision, the speed of $P$ is $x$ and the speed of $Q$ is $y$ . Immediately after the collision, $P$ and $Q$ are moving in the same direction, the speed of $P$ is $v$ and the speed of $Q$ is $2v$ .

The coefficient of restitution between $P$ and $Q$ is $\frac15$

The magnitude of the impulse received by $Q$ in the collision is $5mv$

(a) Find (i) $y$ in terms of $v$

(ii) $x$ in terms of $v$

(iii) the value of $k$

(9)

(b) Find, in terms of $m$ and $v$ , the total kinetic energy lost in the collision between $P$ and $Q$ .

(3)

题目中文翻译

质点 $P$ 、 $Q$ 在光滑水平面上沿同一直线相向运动，并发生正碰。 $P$ 的质量为 $km$ ， $Q$ 的质量为 $m$ 。碰撞前瞬间， $P$ 的速率为 $x$ ， $Q$ 的速率为 $y$ 。碰撞后瞬间， $P$ 、 $Q$ 沿同一方向运动， $P$ 的速率为 $v$ ， $Q$ 的速率为 $2v$ 。

$P$ 与 $Q$ 之间的恢复系数为 $\frac15$ 。

$Q$ 在碰撞中受到的冲量大小为 $5mv$ 。

(a) 求：

(i) 用 $v$ 表示的 $y$ ；

(ii) 用 $v$ 表示的 $x$ ；

(iii) $k$ 的值。

(9)

(b) 用 $m$ 和 $v$ 表示 $P$ 与 $Q$ 碰撞中损失的总动能。

(3)

解答

(a)

解法一

思路

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碰前两物体相向，碰后同向。取碰后的共同方向为正， $Q$ 的碰前速度是 $-y$ 。先用 $Q$ 的冲量求 $y$ ，再用恢复系数求 $x$ ，最后由动量守恒求质量比。

答题过程

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Take the common direction after the collision as positive. Since the particles separate with $Q$ moving faster, take $P$ initially to the left of $Q$ . Their velocities before collision are $x$ and $-y$ , and afterwards are $v$ and $2v$ .

For (i), impulse on $Q$ gives

5mv=m\bigl[2v-(-y)\bigr].

Thus

5v=2v+y,\qquad\boxed{y=3v}.

For (ii), Newton’s law of restitution gives

2v-v=\frac15(x+y).

Hence $x+y=5v$ , and with $y=3v$ ,

\boxed{x=2v}.

For (iii), conservation of momentum gives

kmx-my=kmv+m(2v).

Substituting $x=2v$ and $y=3v$ and cancelling $mv$ ,

2k-3=k+2.

Therefore

\boxed{k=5}.

(b)

解法一

思路

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动能使用速率的平方，所以碰前 $Q$ 的负速度不使其动能变负。分别算系统碰前、碰后动能，再作差。

答题过程

展开

Using $k=5$ , $x=2v$ and $y=3v$ , the total kinetic energy before collision is

K_{\mathrm{before}}=\frac12(5m)(2v)^2+\frac12m(3v)^2=\frac{29}{2}mv^2.

The total kinetic energy after collision is

K_{\mathrm{after}}=\frac12(5m)v^2+\frac12m(2v)^2=\frac92mv^2.

Therefore the kinetic energy lost is

\boxed{K_{\mathrm{before}}-K_{\mathrm{after}}=10mv^2}.

M2 2022 June Q6

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程