图 3 所示的模板由三块独立薄片连接而成。 三块薄片均位于同一平面内。

• $PQUV$ 是边长为 $3a$ 的均匀正方形薄片；
• $URST$ 是边长为 $6a$ 的均匀正方形薄片；
• $QRU$ 是均匀三角形薄片，其中 $UQ=3a$，$UR=6a$，且 $\angle QUR=90^\circ$。

$PQUV$ 的单位面积质量为 $k$，其中 $k$ 为常数。 $URST$ 的单位面积质量为 $k$。 $QRU$ 的单位面积质量为 $2k$。

模板质心到 $QT$ 的距离为 $d$。

(a) 证明 $d=\frac{29}{14}a$。

模板从 $Q$ 点自由悬挂并处于平衡状态，$QR$ 与竖直向下方向成 $\theta^\circ$ 角。

(b) 求 $\theta$ 的值。

三角形面积只有大正方形的四分之一，但其面密度加倍。先求真实质量比，再以 $QT$ 为轴取矩，小正方形在轴左侧要用负距离。

The masses of the two squares and the triangle are

Measure horizontal distances to the right from $QT$. The centroid distances of $PQUV$, $URST$ and $QRU$ are respectively

Taking moments about $QT$ and cancelling $ka^2$,

Thus

and therefore

还须求质心在原图中距 $PQ$ 向下的距离。悬挂时 $QG$ 竖直向下，所求角是 $QR$ 与 $QG$ 的夹角；两者在原图中相对于 $QT$ 的角度相减即可。

Let $G$ be the centre of mass. Measure vertical distances downwards from the horizontal line $PQ$, and let the centroid distance be $z$.

The centroid distances for $PQUV$, $URST$ and $QRU$ are respectively

Taking moments about $PQ$,

Hence

The angle $\phi$ between $QT$ and $QG$ therefore satisfies

In right-angled triangle $QUR$, the angle $\gamma$ between $QT$ and $QR$ satisfies

When the template is suspended from $Q$, $QG$ is vertically downwards.

Since $QG$ is between $QT$ and $QR$,

Thus