题目

Problem

Figure 4 shows a rough ramp fixed to horizontal ground.

The ramp is inclined at angle $\alpha$ to the ground, where $\tan\alpha=\frac16$

The point $A$ is on the ground at the bottom of the ramp. The point $B$ is at the top of the ramp. The line $AB$ is a line of greatest slope of the ramp and $AB=4\,\mathrm{m}$ .

A particle $P$ of mass $3\,\mathrm{kg}$ is projected with speed $U\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ from $A$ directly towards $B$ .

The coefficient of friction between the particle and the ramp is $\frac34$

(a) Find the work done against friction as $P$ moves from $A$ to $B$ .

(4)

Given that at the instant $P$ reaches the point $B$ , the speed of $P$ is $5\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

(b) use the work-energy principle to find the value of $U$ .

(4)

The particle leaves the ramp at $B$ , and moves freely under gravity until it hits the ground at the point $C$ .

(6)

题目中文翻译

图 4 所示的粗糙斜坡固定于水平地面上。

斜坡与地面成 $\alpha$ 角，其中 $\tan\alpha=\frac16$ 。

$A$ 点位于坡底的地面上。 $B$ 点位于坡顶。 $AB$ 是斜坡的一条最大坡度线，且 $AB=4\,\mathrm{m}$ 。

质量为 $3\,\mathrm{kg}$ 的质点 $P$ 从 $A$ 点以速率 $U\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 沿直接指向 $B$ 的方向发射。

质点与斜坡之间的摩擦系数为 $\frac34$ 。

(a) 求 $P$ 从 $A$ 运动至 $B$ 时克服摩擦力所做的功。

(4)

已知 $P$ 到达 $B$ 点的瞬间的速率为 $5\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ ，

(b) 利用功—能原理求 $U$ 的值。

(4)

质点从 $B$ 点离开斜坡，随后仅在重力作用下自由运动，直至在 $C$ 点落地。

(6)

解答

(a)

解法一

思路

展开

由正切求正弦和余弦，分母是 $\sqrt{37}$ 。摩擦耗能用沿坡路程 $4$ 米，不是水平投影。

答题过程

展开

Since $\tan\alpha=1/6$ ,

\sin\alpha=\frac1{\sqrt{37}},\qquad\cos\alpha=\frac6{\sqrt{37}}.

Resolving perpendicular to the ramp, the normal reaction is

R=3g\cos\alpha=\frac{18g}{\sqrt{37}}.

The frictional force is

F=\frac34R=\frac{27g}{2\sqrt{37}}.

Thus the work done against friction is

W=F(4)=\frac{54g}{\sqrt{37}}.

With $g=9.8$ ,

\boxed{W=87.0\text{ J}}.

(b)

解法一

思路

展开

初动能减去摩擦耗能和增加的势能，等于坡顶动能。使用上一问未舍入的耗能，避免过早近似。

答题过程

展开

The gain in height from $A$ to $B$ is

4\sin\alpha=\frac4{\sqrt{37}}.

By the work-energy principle,

\frac12(3)U^2-\frac{54g}{\sqrt{37}}-3g\left(\frac4{\sqrt{37}}\right)=\frac12(3)(5)^2.

Hence

\frac32U^2=\frac{75}{2}+\frac{66g}{\sqrt{37}},

U=\sqrt{25+\frac{44g}{\sqrt{37}}}.

Therefore

\boxed{U=9.79\text{ m s}^{-1}}.

(c)

解法一

思路

展开

离坡时速率是 $5$ ，方向沿坡向上，不是水平抛出。以 $B$ 为竖直位移零点，落地位移为负的坡顶高度。所求只是在 $B$ 、 $C$ 之间的水平位移。

答题过程

展开

After leaving $B$ , the initial horizontal and upward vertical velocity components are

u_x=5\cos\alpha=\frac{30}{\sqrt{37}},\qquad u_y=5\sin\alpha=\frac5{\sqrt{37}}.

Let the flight time from $B$ to $C$ be $t$ . The vertical displacement is $-4/\sqrt{37}$ m, so

-\frac4{\sqrt{37}}=\frac5{\sqrt{37}}t-\frac12gt^2.

Thus

4.9\sqrt{37}\,t^2-5t-4=0.

The positive root is

t=\frac{5+\sqrt{25+4(4.9\sqrt{37})(4)}}{2(4.9\sqrt{37})}.

The horizontal distance from $B$ to $C$ is

D=u_xt=\frac{30}{\sqrt{37}}t.

Using the unrounded positive root gives

\boxed{D=2.27\text{ m}}.

M2 2022 June Q8

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程