题目

Problem

Three particles of masses $2m$ , $3m$ and $4m$ are placed at the points with coordinates $(-2,5)$ , $(2,-3)$ and $(3k,k)$ respectively, where $k$ is a constant. The centre of mass of the three particles is at the point $(\bar{x},\bar{y})$ .

(a) Show that $\bar{x}=\frac{2+12k}{9}$

(2)

The centre of mass of the three particles lies at a point on the straight line with equation $x+2y=3$

(b) Find the value of $k$ .

(4)

题目中文翻译

质量分别为 $2m$ 、 $3m$ 、 $4m$ 的三个质点，分别位于坐标为 $(-2,5)$ 、 $(2,-3)$ 、 $(3k,k)$ 的点，其中 $k$ 为常数。三个质点的质心位于 $(\bar{x},\bar{y})$ 。

(a) 证明 $\bar{x}=\frac{2+12k}{9}$ 。

(2)

三个质点的质心位于直线 $x+2y=3$ 上。

(b) 求 $k$ 的值。

(4)

解答

(a)

解法一

思路

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离散质点的质心坐标是各坐标按质量加权的平均值，三个质量都要计入分母。

答题过程

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Taking moments about the $y$ -axis,

(2m+3m+4m)\bar x=2m(-2)+3m(2)+4m(3k).

Therefore

9m\bar x=(-4+6+12k)m,

\boxed{\bar x=\frac{2+12k}{9}}.

(b)

解法一

思路

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先求另一质心坐标，再把质心而不是各质点代入直线方程。

答题过程

展开

Taking moments about the $x$ -axis,

9m\bar y=2m(5)+3m(-3)+4m(k).

Thus

\bar y=\frac{1+4k}{9}.

Since the centre of mass lies on $x+2y=3$ ,

\frac{2+12k}{9}+2\left(\frac{1+4k}{9}\right)=3.

Hence

4+20k=27,

and therefore

\boxed{k=\frac{23}{20}}.

M2 2022 Oct Q1

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程