题目

Problem

A particle $P$ of mass $0.2\,\mathrm{kg}$ is moving with velocity $(4\mathbf{i}-3\mathbf{j})\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

The particle receives an impulse $\lambda(\mathbf{i}+\mathbf{j})\,\mathrm{N\,s}$ , where $\lambda$ is a constant.

Immediately after receiving the impulse, the speed of $P$ is $7\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

Find the possible values of $\lambda$

(6)

题目中文翻译

质量为 $0.2\,\mathrm{kg}$ 的质点 $P$ 正以速度 $(4\mathbf{i}-3\mathbf{j})\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 运动。

质点受到冲量 $\lambda(\mathbf{i}+\mathbf{j})\,\mathrm{N\,s}$ ，其中 $\lambda$ 为常数。

受到冲量后瞬间， $P$ 的速率为 $7\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 。

求 $\lambda$ 的可能值。

(6)

解答

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冲量是向量，不能直接用速率 $7$ 代替末速度向量。先把末速度的两个分量用 $\lambda$ 表示，再用模的条件列二次方程； $\lambda$ 可正可负。

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Let the final velocity be $\mathbf v$ . The impulse-momentum equation is

\lambda(\mathbf i+\mathbf j)=0.2\bigl[\mathbf v-(4\mathbf i-3\mathbf j)\bigr].

Thus

\mathbf v=(4+5\lambda)\mathbf i+(-3+5\lambda)\mathbf j.

The final speed is 7 m s $^{-1}$ , so

(4+5\lambda)^2+(-3+5\lambda)^2=49.

Expanding and simplifying,

50\lambda^2+10\lambda-24=0,

25\lambda^2+5\lambda-12=0.

Factorising,

(5\lambda-3)(5\lambda+4)=0.

Therefore

\boxed{\lambda=\frac35\quad\text{or}\quad\lambda=-\frac45}.