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M2 2022 Oct Q4

A Level / Edexcel / M2

IAL 2022 Oct Paper · Question 4

题目

Problem

4.

At time tt seconds (0⩽t<5)(0\leqslant t<5), a particle PP has velocity v m s−1\mathbf{v}\,\mathrm{m\,s^{-1}}, where

v=(5−t)i+(t2+2t−3)j\mathbf{v}=\big(\sqrt{5-t}\big)\mathbf{i}+(t^2+2t-3)\mathbf{j}

When t=λt=\lambda, particle PP is moving in a direction parallel to the vector i\mathbf{i}.

(a) Find the acceleration of PP when t=λt=\lambda

(5)

The position vector of PP is measured relative to the fixed point OO When t=1t=1, the position vector of PP is (−2i+j) m(-2\mathbf{i}+\mathbf{j})\,\mathrm{m}.

Given that 1⩽T<51\leqslant T<5

(b) find, in terms of TT, the position vector of PP when t=Tt=T

(5)
题目中文翻译

在 tt 秒时（0⩽t<50\leqslant t<5），质点 PP 的速度为 v m s−1\mathbf{v}\,\mathrm{m\,s^{-1}}，其中

v=(5−t)i+(t2+2t−3)j\mathbf{v}=\big(\sqrt{5-t}\big)\mathbf{i}+(t^2+2t-3)\mathbf{j}

当 t=λt=\lambda 时，质点 PP 沿平行于向量 i\mathbf{i} 的方向运动。

(a) 求 t=λt=\lambda 时 PP 的加速度。

(5)

PP 的位置向量相对于固定点 OO 测量。 当 t=1t=1 时，PP 的位置向量为 (−2i+j) m(-2\mathbf{i}+\mathbf{j})\,\mathrm{m}。

已知 1⩽T<51\leqslant T<5，

(b) 用 TT 表示 t=Tt=T 时 PP 的位置向量。

(5)

解答

(a)

解法一

思路

展开

平行于 i\mathbf i 要求竖直速度为零，并检查水平速度不为零。求导时平方根有内部函数 5−t5-t，其导数为 −1-1。

答题过程

展开

For motion parallel to i\mathbf i,

t2+2t−3=0,(t+3)(t−1)=0.t^2+2t-3=0,\qquad(t+3)(t-1)=0.

The given interval is 0≤t<50\le t<5, so λ=1\lambda=1. At this time the horizontal velocity is 5−1=2≠0\sqrt{5-1}=2\ne0, so the direction condition is satisfied.

Differentiating the velocity,

a=−125−ti+(2t+2)j.\mathbf a=-\frac1{2\sqrt{5-t}}\mathbf i+(2t+2)\mathbf j.

Therefore at t=λ=1t=\lambda=1,

a=(−14i+4j) m s−2.\boxed{\mathbf a=\left(-\frac14\mathbf i+4\mathbf j\right)\text{ m s}^{-2}}.

(b)

解法一

思路

展开

两个速度分量都要积分，不能因为某一时刻竖直速度为零就删去整个分量。积分常数由 t=1t=1 时的位置确定。

答题过程

展开

Integrating the two velocity components,

r=[−23(5−t)3/2+Cx]i+[13t3+t2−3t+Cy]j.\mathbf r=\left[-\frac23(5-t)^{3/2}+C_x\right]\mathbf i+\left[\frac13t^3+t^2-3t+C_y\right]\mathbf j.

Using r(1)=−2i+j\mathbf r(1)=-2\mathbf i+\mathbf j,

−23(4)3/2+Cx=−2,13+1−3+Cy=1.-\frac23(4)^{3/2}+C_x=-2,\qquad\frac13+1-3+C_y=1.

Hence

Cx=103,Cy=83.C_x=\frac{10}{3},\qquad C_y=\frac83.

Thus, for 1≤T<51\le T<5,

r(T)=[103−23(5−T)3/2]i+[13T3+T2−3T+83]j m.\boxed{\mathbf r(T)=\left[\frac{10}{3}-\frac23(5-T)^{3/2}\right]\mathbf i+\left[\frac13T^3+T^2-3T+\frac83\right]\mathbf j\text{ m}}.