均匀杆 $AB$ 长 $8a$，重 $W$。 杆的 $A$ 端通过自由铰链连接于水平地面。 杆靠在同样固定于地面的物块上，处于平衡状态。 将物块视为半径为 $2a$、球心为 $D$ 的光滑实心半球。 杆与物块的接触点为 $C$，其中 $AC=5a$。 如图 1 所示，杆与地面成 $\theta$ 角。 $A$、$B$、$C$、$D$ 各点均位于同一竖直平面内。

(a) 证明 $AD=\sqrt{29}a$。

(b) 证明杆与物块在 $C$ 点之间的法向反作用力大小为 $\frac4{\sqrt{29}}W$。

杆在 $A$ 点所受合力大小为 $kW$，与地面成 $\alpha$ 角。

(c) 求：

(i) $k$ 的精确值；

(ii) $\tan\alpha$ 的精确值。

杆与半球截面相切，接触半径垂直于杆，因此 $ACD$ 是直角三角形。

Since the rod is tangent to the circular cross-section at $C$, $DC\perp AC$. By Pythagoras in triangle $ACD$,

Therefore

光滑接触反力沿半径，垂直于杆。以铰链 $A$ 为取矩点可消去铰链反力；杆重心在距 $A$ 为 $4a$ 的中点。

From the right-angled triangle,

Let the normal reaction at $C$ have magnitude $N$. Taking moments about $A$,

Thus

先求铰链反力的水平、竖直分量，再求合力大小及正切值。两项均要求精确答案，不要用小数近似替代根式或分数。

Let the hinge force have components $H$ horizontally to the right and $V$ vertically upwards. The reaction at $C$ acts upwards and to the left, perpendicular to the rod.

Resolving horizontally,

Resolving vertically,

so

For (i), since the resultant has magnitude $kW$,

Therefore

For (ii), both components are positive, so

沿杆与垂直杆分解时，半球反力只出现在垂直杆的方程。算出铰链反力相对于杆的角度后，用正切差角公式求它相对于地面的角度。

Let the hinge-force components be $F$ along the rod towards $B$ and $E$ perpendicular to the rod, upwards and to the left.

Resolving parallel to the rod,

Resolving perpendicular to the rod,

so

Thus, for (i),

For (ii), the angle between the hinge force and the rod is $\alpha-\theta$, so

Also $\tan\theta=2/5$. Hence

Multiplying out,

Therefore