图 2 所示的均匀薄片 $PQRSTUV$ 由两个全等长方形 $PQUV$、$QRSTU$ 组成。 长方形的边满足 $PQ=RS=2a$，$PV=QR=ka$。

(a) 证明薄片的质心到 $PV$ 的距离为 $\big(\frac{6+k}{4}\big)a$。

薄片从 $P$ 点自由悬挂并处于平衡状态，$PR$ 与竖直向下方向成 $\alpha$ 角。

已知 $\tan\alpha=\frac7{15}$，

(b) 求 $k$ 的值。

两个全等长方形质量相同，所以组合质心坐标就是两个长方形中心坐标的平均值。先以 $PV$ 为竖直参考轴，求到它的水平距离。

Measure horizontal distances from $PV$ towards $R$. The centroids of $PQUV$ and $QRSTU$ are at distances

from $PV$. The rectangles are identical and the lamina is uniform, so their masses are equal. Let each have mass $M$.

Taking moments about $PV$,

Thus

还要求质心到原图中水平线 $PR$ 的向下距离。自由悬挂时 $PG$ 竖直向下，$PR$ 与竖直的夹角就是原图中 $PR$ 与 $PG$ 的夹角，因此用向下距离除以向右距离。

Let $G$ be the combined centre of mass and let $\bar y$ be its distance below $PR$ in Figure 2. The centroids of $PQUV$ and $QRSTU$ are at distances $ka/2$ and $a$ below $PR$.

Taking moments about $PR$,

so

When suspended from $P$, the line $PG$ is vertically downwards. Since $PR$ is horizontal in the original figure, the angle between $PR$ and $PG$ satisfies

Therefore

Cross-multiplying,

and hence