质点 $A$ 的质量为 $m$，质点 $B$ 的质量为 $2m$。 两质点在光滑水平面上沿同一直线同向运动。 质点 $A$ 与质点 $B$ 发生正碰。 碰撞前瞬间，$A$ 的速率为 $3u$，$B$ 的速率为 $u$。 $A$ 与 $B$ 之间的恢复系数为 $e$。

(a) (i) 证明碰撞后瞬间 $B$ 的速率为 $\frac{5+2e}{3}u$。

(ii) 求碰撞后瞬间 $A$ 的速率。

碰撞后，$B$ 撞上垂直于其运动方向的光滑固定竖直墙。

$B$ 与墙之间的恢复系数为 $\frac13$。

质点 $B$ 反弹，随后 $A$、$B$ 发生第二次碰撞。 $A$、$B$ 第一次碰撞的位置距墙 $d$。 两次碰撞之间的时间为 $T$。

已知 $e=\frac12$，

(b) 用 $d$ 和 $u$ 表示 $T$。

碰前两球同向，接近速率是 $3u-u$，不是两速率相加。取共同初始方向为正，联立动量守恒与恢复系数方程。

Take the initial direction of motion as positive. Let the velocities after the first collision be $v_A$ and $v_B$.

Conservation of momentum gives

so

Newton’s law of restitution gives

Hence $v_A=v_B-2eu$. Substituting,

and therefore

This is positive, so the speed of $B$ is

把 $B$ 的速度代回恢复系数方程，并检查 $A$ 的有符号速度是否为正。

Using $v_A=v_B-2eu$,

Since $0\le e\le1$, this is positive. Therefore the speed of $A$ is

先算 $B$ 撞墙前所用时间，以及这段时间内 $A$ 走过的距离。反弹后两球相向，用当时的间距除以接近速率，再加上第一段时间。

With $e=1/2$, the speeds after the first collision are

The time for $B$ to reach the wall is

During this time $A$ travels $ut_1=d/2$, so the gap between $A$ and the wall is $d/2$ when $B$ hits it.

After rebounding, the speed of $B$ is

directed towards $A$. Their approach speed is $u+2u/3=5u/3$. Thus the further time to collision is

Therefore

and hence

也可把两次碰撞间的总时间直接设为 $T$。$A$ 的路程为 $uT$，$B$ 撞墙后的路程为 $d-uT$；把 $B$ 的两段时间相加即可。

For $e=1/2$, $A$ moves at speed $u$ throughout the interval between the collisions, while $B$ moves towards the wall at speed $2u$ and rebounds at speed $2u/3$.

In total time $T$, $A$ travels $uT$. Hence the second collision occurs at distance $d-uT$ from the wall. For $B$,

Multiplying by $2u$,

Thus

This gives $uT=4d/5<d$, consistent with the collision occurring before $A$ reaches the wall.