[ 本题中，单位向量 $\mathbf{i}$、$\mathbf{j}$ 位于同一竖直平面内，其中 $\mathbf{i}$ 沿水平方向，$\mathbf{j}$ 竖直向上。 ]

一个粗糙斜坡固定于水平地面上。

斜坡与地面成 $\alpha$ 角，其中 $\tan\alpha=\frac7{24}$。

$A$ 点位于坡底，$B$ 点位于坡顶。 如图 3 所示，$AB$ 是斜坡的一条最大坡度线，且 $AB=15\,\mathrm{m}$。

质量为 $0.3\,\mathrm{kg}$ 的质点 $P$ 从 $A$ 点以速率 $U\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 沿直接指向 $B$ 的方向发射。 $P$ 到达 $B$ 点的瞬间的速度为 $(24\mathbf{i}+7\mathbf{j})\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。 质点从 $B$ 点离开斜坡，随后仅在重力作用下自由运动，直至在 $C$ 点落于水平地面。

$P$ 与斜坡之间的摩擦系数为 $\frac15$。

(a) 求 $P$ 从 $A$ 运动至 $B$ 时克服摩擦力所做的功。

(b) 利用功—能原理求 $U$ 的值。

(c) 求 $P$ 从 $B$ 运动至 $C$ 所用的时间。

$P$ 在 $C$ 点落地前瞬间，运动方向与水平面成 $\theta^\circ$ 角斜向下。

(d) 求 $\theta$ 的值。

由 $7$、$24$、$25$ 直角三角形确定三角比。摩擦力为系数乘支持力，功使用沿坡路程 $15$ 米。

From $\tan\alpha=7/24$,

The normal reaction is

Thus the work done against friction is

Using $g=9.8$,

坡顶给的是速度向量，先求其模 $25$。初动能须提供坡顶动能、重力势能增加及摩擦耗能；按题意使用功—能原理。

The speed at $B$ is

The height gained is

By the work-energy principle,

Using the unrounded work $W_f=8.4672$ J,

Taking the positive root,

以 $B$ 为位移原点，落地的竖直位移为 $-4.2$，初始竖直速度为 $+7$。解出时间正根，不把到最高点的时间当成落地时间。

Let the flight time from $B$ to $C$ be $t$. Taking upwards as positive,

With $g=9.8$,

Therefore

The negative root is inadmissible. Thus

水平速度保持 $24$；竖直速度在落地前为负。用向下速度的大小与水平速度之比求俯角，并保留前一问时间的未舍入值。

Immediately before reaching $C$, the horizontal velocity is still 24 m s$^{-1}$. The vertical velocity is

where $t$ is the unrounded positive root from (c). This is negative, as expected for downward motion.

Hence the angle below the horizontal satisfies

Therefore

也可从坡顶到落地使用机械能，先求落地总速率，再与恒定水平分量配合求角度。

Let the speed immediately before impact be $v_C$. Conservation of energy between $B$ and $C$ gives

Thus

Since the horizontal velocity remains 24 m s$^{-1}$,

The ball is descending at $C$, so the required downward angle is