题目

Problem

A particle $P$ of mass $0.5\,\mathrm{kg}$ is moving with velocity $(5\mathbf{i}+3\mathbf{j})\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ The particle receives an impulse $(-2\mathbf{i}+\lambda\mathbf{j})\,\mathrm{N\,s}$ , where $\lambda$ is a constant. Immediately after receiving the impulse, the velocity of $P$ is $(x\mathbf{i}+y\mathbf{j})\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ The kinetic energy gained by $P$ as a result of receiving the impulse is $22\,\mathrm{J}$ .

Find the possible values of $\lambda$ .

(7)

题目中文翻译

质量为 $0.5\,\mathrm{kg}$ 的质点 $P$ 正以速度 $(5\mathbf{i}+3\mathbf{j})\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 运动。质点受到冲量 $(-2\mathbf{i}+\lambda\mathbf{j})\,\mathrm{N\,s}$ ，其中 $\lambda$ 为常数。受到冲量后瞬间， $P$ 的速度为 $(x\mathbf{i}+y\mathbf{j})\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 。受到冲量使 $P$ 的动能增加了 $22\,\mathrm{J}$ 。

求 $\lambda$ 的可能值。

(7)

解答

解法一

思路

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冲量关系给出末速度分量，动能增加给出末速率平方。动能不含方向信息，因此竖直速度的正、负两种可能都要保留。

答题过程

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The impulse-momentum equation gives

-2\mathbf i+\lambda\mathbf j=0.5\bigl[(x-5)\mathbf i+(y-3)\mathbf j\bigr].

Equating components,

x-5=-4,\qquad y-3=2\lambda.

Thus

x=1,\qquad y=3+2\lambda.

The kinetic energy gained is 22 J, so

\frac12(0.5)\bigl[x^2+y^2-(5^2+3^2)\bigr]=22.

Therefore

x^2+y^2=122.

Using $x=1$ ,

(3+2\lambda)^2=121.

Hence

3+2\lambda=11\quad\text{or}\quad3+2\lambda=-11.

The possible values are therefore

\boxed{\lambda=4\quad\text{or}\quad\lambda=-7}.

M2 2023 Jan Q2

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