[ 本题中，相互垂直的单位向量 $\mathbf{i}$、$\mathbf{j}$ 位于同一水平面内。 ]

质量为 $1.5\,\mathrm{kg}$ 的质点 $Q$ 在光滑水平面上受单个力 $\mathbf{F}$ 牛顿作用而运动。在 $t$ 秒时（$t\geqslant0$），$Q$ 相对于固定点 $O$ 的位置向量为 $\mathbf{r}$ 米，速度为 $\mathbf{v}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。 已知

其中 $k$ 为常数。

已知当 $t=2$ 时，质点 $Q$ 沿向量 $\mathbf{i}+\mathbf{j}$ 的方向运动，

(a) 证明 $k=4$；

(b) 求 $t=2$ 时 $\mathbf{F}$ 的大小。

已知 $t=0$ 时 $\mathbf{r}=3\mathbf{i}+4\mathbf{j}$，

(c) 求 $t=2$ 时的 $\mathbf{r}$。

沿 $\mathbf i+\mathbf j$ 方向运动时两速度分量相等，而且应为正。代入给定时间，解出 $k$ 并确认方向。

At $t=2$, the velocity is

For the direction to be $\mathbf i+\mathbf j$,

Hence

This gives $\mathbf v=16(\mathbf i+\mathbf j)$, a positive multiple of the required direction.

先对速度求导，再用质量乘加速度的模求力的大小；这里不是求力向量本身。

With $k=4$, differentiating gives

At $t=2$,

Thus

Therefore

速度积分得到位置，再用 $t=0$ 的位置决定两个常数。位置有初始偏移，不能只写从零时刻起的位移。

Integrating the velocity,

Since $\mathbf r(0)=3\mathbf i+4\mathbf j$,

At $t=2$,

Hence