一个粗糙直斜坡固定于水平地面上。斜坡与水平面成 $\theta$ 角，其中 $\tan\theta=\frac5{12}$。

如图 2 所示，$A$、$B$ 两点位于斜坡的一条最大坡度线上，$AB=2.5\,\mathrm{m}$，且 $B$ 在 $A$ 上方。

质量为 $1.5\,\mathrm{kg}$ 的包裹从 $A$ 点以速率 $U\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 沿斜坡向上发射，并在 $B$ 点第一次瞬时静止。

包裹与斜坡之间的摩擦系数为 $\frac27$。

将包裹视为质点。

(a) 求包裹从 $A$ 运动至 $B$ 时克服摩擦力所做的功。

(b) 利用功—能原理求 $U$ 的值。

在 $B$ 点瞬时静止后，包裹沿斜坡向下滑回。

(c) 利用功—能原理求包裹返回 $A$ 的瞬间的速率。

本问只求克服摩擦的功，不包括重力势能增加。支持力为重量的垂直斜面分量。

From $\tan\theta=5/12$,

The normal reaction is

Thus the frictional force is

The work done against friction over 2.5 m is

Hence

包裹在 $B$ 静止，初动能全部变成势能增加和摩擦耗能。题目指定功—能，保留上一问的未舍入耗能。

The vertical rise is

By the work-energy principle,

Using the unrounded expressions from (a),

Taking the positive root,

下滑时摩擦力反向，仍阻碍运动。由 $B$ 静止下滑至 $A$，损失的势能减去摩擦耗能等于最终动能。

On the return journey, friction acts up the ramp. Its magnitude is unchanged, so the work done against it is again $W_f$.

Let the return speed at $A$ be $v$. By the work-energy principle from $B$ to $A$,

Using the unrounded $W_f$,

也可以考虑从 $A$ 上滑再回到 $A$ 的整个过程。初末高度相同，重力势能净变化为零；摩擦在上下两程都耗能。

Apply the work-energy principle over the complete journey $A\to B\to A$. The net change in gravitational potential energy is zero, while the total work done against friction is $2W_f$.

Therefore

Hence

Using unrounded values from (a) and (b),