质点 $P$ 的质量为 $3m$，质点 $Q$ 的质量为 $km$。两质点在光滑水平面上沿同一直线相向运动。 两质点发生正碰。 碰撞前瞬间，$P$ 的速率为 $2u$，$Q$ 的速率为 $3u$。 碰撞后瞬间，$P$ 的速率为 $u$，$Q$ 的速率为 $v$。

碰撞没有改变 $P$ 的运动方向。

(a) 证明 $v=\frac{3-3k}{k}u$。

(b) 用 $m$ 和 $u$ 表示 $Q$ 在碰撞中受到的冲量大小。

$P$ 与 $Q$ 之间的恢复系数为 $e$。 已知 $v\neq u$，

(c) 求 $k$ 的可能取值范围。

取 $P$ 碰前方向为正，$Q$ 的碰前速度是 $-3u$。碰后 $P$ 仍向正方向运动；为了分离，位于前方的 $Q$ 也须向正方向且不比 $P$ 慢。

Take the initial direction of $P$ as positive. Its velocity changes from $2u$ to $u$. Since $Q$ is ahead of $P$ after contact and the particles must separate, its final velocity is in the same positive direction, with speed $v$.

Conservation of momentum gives

Hence

and therefore

直接用 $P$ 的已知初末速度求冲量最简便。根据作用力与反作用力，两质点受到的冲量大小相等。

The signed impulse on $P$ is

The impulse on $Q$ is equal in magnitude and opposite in direction. Therefore its magnitude is

分离速率为 $v-u$，接近速率为 $5u$。恢复系数介于零和一之间，结合 $v\ne u$ 排除零恢复系数；两个不等式分别给质量比的上下界。

Newton’s law of restitution gives

Since $v\ne u$ and the particles separate, $e>0$. Using (a),

The masses are positive, so $k>0$.

From $e>0$,

From $e\le1$,

Therefore