题目

Problem

A particle $P$ is projected from a fixed point $O$ . The particle is projected with speed $u\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ at angle $\alpha$ above the horizontal. The particle moves freely under gravity. At the instant when the horizontal distance of $P$ from $O$ is $x$ metres, $P$ is $y$ metres vertically above the level of $O$ .

(a) Show that $y=x\tan\alpha-\frac{gx^2}{2u^2}(1+\tan^2\alpha)$

(6)

A small ball is projected from a fixed point $A$ with speed $U\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ at $\theta^\circ$ above the horizontal. The point $B$ is on horizontal ground and is vertically below the point $A$ , with $AB=20\,\mathrm{m}$ . The ball hits the ground at the point $C$ , where $BC=30\,\mathrm{m}$ , as shown in Figure 4.

The speed of the ball immediately before it hits the ground is $25\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ The motion of the ball is modelled as that of a particle moving freely under gravity.

(b) Use the principle of conservation of mechanical energy to find the value of $U$ .

(3)

题目中文翻译

从固定点 $O$ 以速率 $u\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 、与水平面成仰角 $\alpha$ 抛出质点 $P$ 。质点仅在重力作用下自由运动。当 $P$ 到 $O$ 的水平距离为 $x$ 米时， $P$ 位于 $O$ 所在水平面上方 $y$ 米处。

(a) 证明 $y=x\tan\alpha-\frac{gx^2}{2u^2}(1+\tan^2\alpha)$ 。

(6)

从固定点 $A$ 以速率 $U\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 、与水平面成 $\theta^\circ$ 仰角抛出一个小球。 $B$ 点位于水平地面上，在 $A$ 的正下方，且 $AB=20\,\mathrm{m}$ 。如图 4 所示，小球在 $C$ 点落地，其中 $BC=30\,\mathrm{m}$ 。

小球落地前瞬间的速率为 $25\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 。将小球的运动视为仅在重力作用下的质点自由运动。

(b) 利用机械能守恒原理求 $U$ 的值。

(3)

解答

(a)

解法一

思路

展开

写出水平与竖直位移方程，由水平运动消去时间。最后明确给出三角恒等式的变形，得到题目要求的形式。

答题过程

展开

After time $t$ , the displacement components are

x=u\cos\alpha\,t,\qquad y=u\sin\alpha\,t-\frac12gt^2.

From the horizontal equation,

t=\frac{x}{u\cos\alpha}.

Substitution gives

y=x\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-\frac{gx^2}{2u^2\cos^2\alpha}.

Using

\frac1{\cos^2\alpha}=\frac{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=1+\tan^2\alpha,

we obtain

\boxed{y=x\tan\alpha-\frac{gx^2}{2u^2}(1+\tan^2\alpha)}.

(b)

解法一

思路

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小球下落 $20$ 米，增加的动能来自损失的重力势能。本问指定机械能守恒，不必先求抛射角。

答题过程

展开

Let the ball have mass $m$ . Conservation of mechanical energy from $A$ to $C$ gives

\frac12mU^2+mg(20)=\frac12m(25)^2.

Hence

U^2=625-40g=233.

Therefore

\boxed{U=15.3\text{ m s}^{-1}}.

(c)

解法一

思路

展开

轨迹方程的高度从抛出点量起，因此落地时 $y=-20$ 。使用未舍入的 $U^2=233$ ，设 $z=\tan\theta$ ，解二次方程并舍去对应向下发射的负根。

答题过程

展开

Relative to $A$ , the landing point has coordinates $x=30$ , $y=-20$ . Using (a) and $U^2=233$ ,

-20=30\tan\theta-\frac{9.8(30)^2}{2(233)}(1+\tan^2\theta).

Let $z=\tan\theta$ . Then

\frac{4410}{233}z^2-30z-\frac{250}{233}=0,

441z^2-699z-25=0.

Thus

z=\frac{699\pm\sqrt{699^2+4(441)(25)}}{882}.

Since the ball is projected above the horizontal, $z>0$ , so take the positive root. Hence

\boxed{\theta=58.3^\circ}.

M2 2023 Jan Q8

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程