题目

Problem

[In this question, the perpendicular unit vectors $\mathbf{i}$ and $\mathbf{j}$ are in a horizontal plane.]

In this question you must show all stages of your working. Solutions relying on calculator technology are not acceptable.

A particle $P$ is moving on a smooth horizontal plane.

At time $t$ seconds $(t\geqslant0)$ , the position vector of $P$ , relative to a fixed point $O$ , is $\mathbf{r}$ metres and the velocity of $P$ is $\mathbf{v}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ where

\mathbf{v}=(4t^2-5t)\mathbf{i}+(-10t-12)\mathbf{j}

When $t=0$ , $\mathbf{r}=2\mathbf{i}+6\mathbf{j}$

(a) Find $\mathbf{r}$ when $t=2$

(4)

When $t=T$ particle $P$ is moving in the direction of the vector $\mathbf{i}-2\mathbf{j}$

(b) Find the value of $T$

(3)

题目中文翻译

[ 本题中，相互垂直的单位向量 $\mathbf{i}$ 、 $\mathbf{j}$ 位于同一水平面内。 ]

本题必须展示所有计算步骤。 不接受依赖计算器技术的解法。

质点 $P$ 在光滑水平面上运动。

在 $t$ 秒时（ $t\geqslant0$ ）， $P$ 相对于固定点 $O$ 的位置向量为 $\mathbf{r}$ 米，速度为 $\mathbf{v}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ ，其中

\mathbf{v}=(4t^2-5t)\mathbf{i}+(-10t-12)\mathbf{j}

当 $t=0$ 时， $\mathbf{r}=2\mathbf{i}+6\mathbf{j}$ 。

(a) 求 $t=2$ 时的 $\mathbf{r}$ 。

(4)

当 $t=T$ 时，质点 $P$ 沿向量 $\mathbf{i}-2\mathbf{j}$ 的方向运动。

(b) 求 $T$ 的值。

(3)

解答

(a)

解法一

思路

展开

按题目要求展示积分和常数计算，用分数保留精确值。位置等于速度积分加初始位置，不能漏掉初始偏移。

答题过程

展开

Integrating the velocity component by component,

\mathbf r=\left(\frac43t^3-\frac52t^2+C_x\right)\mathbf i+(-5t^2-12t+C_y)\mathbf j.

At $t=0$ , $\mathbf r=2\mathbf i+6\mathbf j$ , so

C_x=2,\qquad C_y=6.

At $t=2$ ,

r_i=\frac43(8)-\frac52(4)+2=\frac{32}{3}-10+2=\frac83,

r_j=-5(4)-12(2)+6=-20-24+6=-38.

Therefore

\boxed{\mathbf r(2)=\left(\frac83\mathbf i-38\mathbf j\right)\text{ m}}.

(b)

解法一

思路

展开

沿 $\mathbf i-2\mathbf j$ 方向要求竖直速度是水平速度的 $-2$ 倍。手算因式分解，舍去负时间，再回代检查同向而非反向。

答题过程

展开

For motion in the direction of $\mathbf i-2\mathbf j$ ,

-10T-12=-2(4T^2-5T).

Rearranging,

8T^2-20T-12=0,

2T^2-5T-3=0,

(2T+1)(T-3)=0.

Thus $T=-1/2$ or $T=3$ . Since $T\ge0$ , take $T=3$ .

Checking the direction,

\mathbf v(3)=(36-15)\mathbf i+(-30-12)\mathbf j=21(\mathbf i-2\mathbf j).

The multiplier is positive, so

\boxed{T=3\text{ s}}.

(c)

解法一

思路

展开

加速度先由速度求导，再取模。原题要求精确值，最后把根式化简，不用计算器小数替代。

答题过程

展开

Differentiating the velocity,

\mathbf a=(8t-5)\mathbf i-10\mathbf j.

At $t=2.5=5/2$ ,

\mathbf a=\left(8\times\frac52-5\right)\mathbf i-10\mathbf j=15\mathbf i-10\mathbf j.

Hence

|\mathbf a|=\sqrt{15^2+(-10)^2}=\sqrt{225+100}=\sqrt{25\times13}.

Therefore

\boxed{|\mathbf a|=5\sqrt{13}\text{ m s}^{-2}}.

M2 2023 June Q2

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程