质量为 $3m$ 的质点 $P$ 与质量为 $5m$ 的质点 $Q$，在光滑水平面上沿同一直线相向运动，发生正碰。

碰撞前瞬间，$P$ 的速率为 $u$，$Q$ 的速率为 $ku$。

碰撞后瞬间，$P$ 的速率为 $2v$，$Q$ 的速率为 $v$。

碰撞使每个质点的运动方向均反转。

碰撞中，$P$ 受到大小为 $15mv$ 的冲量。

(a) 证明 $u=3v$。

(b) 求 $k$ 的值。

$P$ 与 $Q$ 之间的恢复系数为 $e$。

(c) 求 $e$ 的值。

碰撞中损失的总动能为 $\lambda mv^2$。

(d) 求 $\lambda$ 的值。

$P$ 反向，速度变化的大小为碰前、碰后速率之和。统一取 $P$ 碰前方向为正，先写有符号冲量，再取大小。

Take the initial direction of $P$ as positive. Its velocity changes from $u$ to $-2v$, so its signed impulse is

The magnitude is given as $15mv$. Therefore

Cancelling $3m$,

and hence

两物体受到的冲量大小相等。$Q$ 碰前速度为 $-ku$，碰后为 $+v$，代入冲量关系后利用上一问。

The impulse on $Q$ has magnitude $15mv$ in the positive direction. Thus

Hence

Using $u=3v$,

so

碰前接近速率和碰后分离速率都要用两速率之和，因为两物体在这两个阶段分别相向和背向运动。

The approach speed is $u+ku$. The separation speed is $2v+v=3v$. Therefore

With $u=3v$ and $k=2/3$,

Hence

动能使用速率平方。把两物体碰前、碰后的四项都写出，再相减；最后题目要的是系数 $\lambda$。

Using $u=3v$ and $ku=2v$, the kinetic energy before collision is

After collision it is

Thus the loss is

Comparing with $\lambda mv^2$ gives