[ 本题中，相互垂直的单位向量 $\mathbf{i}$、$\mathbf{j}$ 位于同一竖直平面内，其中 $\mathbf{i}$ 沿水平方向，$\mathbf{j}$ 竖直向上。 ]

从固定点 $A$ 以速度 $(3\mathbf{i}+2\mathbf{j})\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 抛出一个小球。

$A$ 点位于水平地面上方 $20\,\mathrm{m}$ 处。

如图 4 所示，小球在 $B$ 点落地。

将小球视为仅受重力作用而自由运动的质点。

(a) 利用能量关系，求小球落地前瞬间的速率。

(b) 求小球落地前瞬间的运动方向。

(c) 求小球从 $A$ 运动至 $B$ 所用的时间。

当小球的运动方向垂直于 $(3\mathbf{i}+2\mathbf{j})$ 时，小球离地面 $h$ 米。

(d) 求 $h$ 的值。

先由初速度两个分量求初速率平方，再用机械能守恒计算下落 $20$ 米后的速率。题目指定能量方法。

Let the mass of the ball be $m$, and let its speed immediately before impact be $v$. The initial speed squared is

Conservation of mechanical energy gives

Thus

and therefore

水平速度始终为 $3$，落地时向下。用水平分量除以总速率求与水平面的夹角，必须说明是向下的角。

The horizontal velocity remains 3 m s$^{-1}$. Let the angle below the horizontal immediately before impact be $\beta$.

Using the unrounded speed from (a),

Therefore the direction is

Equivalently, the velocity has the direction of

where the negative vertical component specifies downward motion.

以起点为竖直位移零点，落地位移为 $-20$。初竖直速度为 $+2$，解二次方程时只取正时间。

Let the flight time be $t$. Vertically, taking upwards as positive,

With $g=9.8$,

Hence

Taking the positive root gives

垂直方向用数量积判定。水平速度不变，因此先求当时竖直速度，再用竖直运动求相对起点的位移，最后转换成离地高度。不能把竖直速度简单改成 $-2$。

Let the vertical velocity when the directions are perpendicular be $w$. The velocity is then

Perpendicularity to $3\mathbf i+2\mathbf j$ gives

so

Let the vertical displacement from $A$ be $s$, positive upwards. Using $w^2=u_y^2+2a_ys$,

Therefore

Since $A$ is 20 m above the ground,

Hence

求出垂直方向对应的速度后，也可用机械能把初末速率和高度直接联系，避免混淆位移正负。

At the required point, perpendicularity gives

Its speed squared is

Taking the ground as zero potential energy, conservation of energy between $A$ and this point gives

Thus

Therefore