题目

Problem

At time $t$ seconds, $t>0$ , a particle $P$ is at the point with position vector $\mathbf{r}\,\mathrm{m}$ , where

\mathbf{r}=(t^4-8t^2)\mathbf{i}+\big(6t^2-2t^{\frac32}\big)\mathbf{j}

(a) Find the velocity of $P$ when $P$ is moving in a direction parallel to the vector $\mathbf{j}$

(4)

(b) Find the acceleration of $P$ when $t=4$

(3)

题目中文翻译

在 $t$ 秒时， $t>0$ ，质点 $P$ 所在点的位置向量为 $\mathbf{r}\,\mathrm{m}$ ，其中

\mathbf{r}=(t^4-8t^2)\mathbf{i}+\big(6t^2-2t^{\frac32}\big)\mathbf{j}

(a) 求 $P$ 沿平行于向量 $\mathbf{j}$ 的方向运动时的速度。

(4)

(b) 求 $t=4$ 时 $P$ 的加速度。

(3)

解答

展开

速度由位置求导。平行于 $\mathbf j$ 要求水平速度为零，但速度本身不能为零；先用 $t>0$ 筛选时间，再写完整速度向量。

展开

Differentiating the position vector,

\mathbf v=(4t^3-16t)\mathbf i+(12t-3\sqrt t)\mathbf j.

For motion parallel to $\mathbf j$ , the horizontal component is zero:

4t^3-16t=4t(t-2)(t+2)=0.

Since $t>0$ , the only admissible time is $t=2$ . At this time,

v_j=12(2)-3\sqrt2=24-3\sqrt2\ne0.

Therefore

\boxed{\mathbf v=(24-3\sqrt2)\mathbf j\text{ m s}^{-1}}.

展开

再次求导得到加速度。 $t^{1/2}$ 的导数含负半次幂，代入 $t=4$ 后保持精确分数。

展开

Differentiating the velocity,

\mathbf a=(12t^2-16)\mathbf i+\left(12-\frac32t^{-1/2}\right)\mathbf j.

At $t=4$ ,

a_i=12(16)-16=176,

a_j=12-\frac32\left(\frac12\right)=\frac{45}{4}.

Hence

\boxed{\mathbf a=\left(176\mathbf i+\frac{45}{4}\mathbf j\right)\text{ m s}^{-2}}.