图 1 所示的模板满足：

• $PQUY$ 是边长为 $4a$ 的均匀正方形薄片；
• $RSTU$ 是边长为 $2a$ 的均匀正方形薄片；
• $VWXY$ 是边长为 $2a$ 的均匀正方形薄片；
• 三个正方形均位于同一平面内；
• $VWXY$ 的单位面积质量是 $PQUY$ 的两倍；
• $RSTU$ 的单位面积质量是 $PQUY$ 的两倍；
• 模板质心到 $PX$ 的距离为 $d$。

(a) 证明 $d=\frac52a$。

模板以 $Q$ 为自由转动支点悬挂并处于平衡状态，$PQ$ 与竖直向下方向成 $\theta$ 角。

(b) 求 $\tan\theta$ 的值。

模板的质量为 $M$。

模板仍以 $Q$ 为自由转动支点，但现在在 $X$ 点受到大小为 $F$ 的水平力作用，使其保持平衡且 $PQ$ 竖直。 该力的作用线与模板位于同一平面内。

(c) 用 $M$ 和 $g$ 表示 $F$。

小正方形面积为大正方形的四分之一，但面密度为两倍，所以质量比为 $2:1:1$。先列三块质心到 $PX$ 的距离，再取质量矩证明给定式。

Let the mass per unit area of $PQUY$ be $\sigma$. The masses of $PQUY$, $RSTU$ and $VWXY$ are respectively

Their centres of mass are at their square centres. Measured perpendicularly above $PX$, their distances are respectively

Taking moments of masses about $PX$,

Thus

Cancelling $32\sigma a^2$ gives

悬挂时 $QG$ 竖直向下。还需计算质心到 $PQ$ 的横向距离；再把 $QG$ 相对于 $QP$ 的角写成直角三角形正切，不能只用上一问的一个坐标。

Let $G$ be the centre of mass. In the orientation of Figure 1, let $z$ be its perpendicular distance to the right of $PQ$.

The three square centres have distances $2a$, $3a$ and $5a$ to the right of $PQ$. Taking moments about $PQ$,

Therefore

Since $Q$ is $4a$ above $PX$, the component of $QG$ along $QP$ is

Its perpendicular component is $3a$.

When the template hangs freely, $QG$ is vertically downwards. The angle between $QP$ and $QG$ is therefore $\theta$, so

Hence

$PQ$ 竖直时，重力的垂直力臂是质心到 $PQ$ 的距离 $3a$；水平力的力臂是 $Q$ 到 $X$ 所在水平线的距离 $4a$。对支点取矩即可消去支点反力。

With $PQ$ vertical, the weight $Mg$ acts through $G$ with perpendicular distance $3a$ from $Q$.

The horizontal force at $X$ has perpendicular distance $4a$ from $Q$. It acts in the direction that opposes the moment of the weight.

Taking moments about $Q$,

Thus