质点 $P$ 的质量为 $4m$，质点 $Q$ 的质量为 $2m$。

两质点在光滑水平面上沿同一直线反向运动。

质点 $P$ 与质点 $Q$ 发生正碰。

碰撞前瞬间，$P$ 的速率为 $2u$，$Q$ 的速率为 $3u$。

碰撞后瞬间，$P$ 的速率为 $x$，$Q$ 的速率为 $y$。

碰撞使每个质点的运动方向均反转。

碰撞后 $P$、$Q$ 的总动能为碰撞前两者总动能的一半。

(a) 证明 $y=\frac83u$。

$P$ 与 $Q$ 之间的恢复系数为 $e$。

(b) 求 $e$ 的值。

碰撞后，$Q$ 撞上垂直于其运动方向的光滑固定竖直墙。

质点 $Q$ 反弹。

$Q$ 与墙之间的恢复系数为 $f$。

已知 $P$、$Q$ 没有发生第二次碰撞，

(c) 求 $f$ 的可能取值范围。

已知 $f=\frac14$，

(d) 用 $m$ 和 $u$ 表示 $Q$ 撞墙所受到的冲量大小。

两粒子碰后均反向，先统一正方向，动量使用有符号速度，动能使用平方。联立后展示二次式与因式分解，舍去负速率根，才能完成证明题。

Take the initial direction of $P$ as positive. Before the collision the velocities are $+2u$ and $-3u$; afterwards they are $-x$ and $+y$.

Conservation of momentum gives

Dividing by $2m$,

The initial kinetic energy is

Since the final kinetic energy is half this,

Thus

Substituting for $x$ gives

Since $y$ is a positive speed, $y=-2u$ is inadmissible. Hence

先由动量关系求 $x$，再计算分离速率与接近速率的比。碰前和碰后两粒子方向都相反，所以两处均使用速率之和。

From (a),

The approach speed is $2u+3u=5u$, and the separation speed is $x+y$. Therefore

Hence

撞墙后 $Q$ 在 $P$ 后方并沿同方向追赶。只要 $Q$ 的反弹速率不超过 $P$ 就不会追上；相等时距离保持不变，应包括等号。题目说反弹，因此排除 $f=0$。

After rebounding from the wall, $Q$ moves in the same direction as $P$, with speed

At this stage $P$ is ahead of $Q$ in their direction of motion, and its speed remains $x=5u/6$.

For $Q$ not to catch $P$, its speed must not exceed that of $P$:

Thus

Also $f>0$ because $Q$ rebounds. Equality gives equal speeds and a constant positive separation, so it is included. Therefore

冲量等于有符号动量变化。撞墙使 $Q$ 反向，速度变化的大小是碰前速率与反弹速率之和，而不是两速率之差。

Take the direction towards the wall as positive. The velocity of $Q$ changes from $+y$ to $-fy$.

For $f=1/4$, the signed impulse is

Using $y=8u/3$, its magnitude is

Hence