质点 $P$ 的质量为 $m$，质点 $Q$ 的质量为 $5m$。

两质点在光滑水平面上沿同一直线同向运动。

质点 $P$ 与质点 $Q$ 发生正碰。

碰撞前瞬间，$P$ 的速率为 $6u$，$Q$ 的速率为 $u$。

碰撞后瞬间，$P$ 的速率为 $x$，$Q$ 的速率为 $y$。

碰撞使 $P$ 的运动方向反转。

$P$ 与 $Q$ 之间的恢复系数为 $e$。

(a) 求 $e$ 的完整可能取值范围。

已知 $e=\frac35$，

(b) 求 $P$ 与 $Q$ 碰撞中损失的总动能。

碰撞后，$Q$ 撞上垂直于其运动方向的光滑固定竖直墙。

质点 $Q$ 反弹。

$Q$ 与墙之间的恢复系数为 $f$。

已知 $P$、$Q$ 发生第二次碰撞，

(c) 求 $f$ 的完整可能取值范围。

碰前同向，接近速率为 $5u$；$P$ 碰后反向，用速度 $-x$ 列动量。反向要求 $x>0$，不是 $x\ge0$，再结合恢复系数上限给完整区间。

Take the common initial direction as positive. After collision $P$ has velocity $-x$. Conservation of momentum gives

so

Since $P$ reverses and $Q$ continues forwards, the separation speed is $x+y$. Newton’s law of restitution gives

Thus $y=5eu-x$. Substituting into momentum,

Hence

For $P$ to reverse, $x>0$, so $e>11/25$. Combining this with $e\le1$ gives

代入给定恢复系数求碰后两速率，再逐项计算系统碰前、碰后总动能。保持分数能避免舍入造成误差。

For $e=3/5$,

From $11u=5y-x$,

The initial kinetic energy is

The final kinetic energy is

Therefore

so the total kinetic energy lost is

反弹后 $Q$ 从后面追赶 $P$。要再次碰撞，$Q$ 必须更快；等速只会保持间距，因此不包括下端等号。

After its wall impact, $Q$ moves in the same direction as $P$, with speed

The speed of $P$ remains $x=2u/3$. Since $P$ is ahead, a second collision requires

Thus

At $f=2/7$ the speeds are equal and the particles remain separated, so this endpoint is excluded. Since $f\le1$,