题目
Problem
8.
[In this question i and j are unit vectors, with i horizontal and j vertical.]
The fixed points A and B lie on horizontal ground.
At time t=0, a particle P is projected from A with velocity (4i+7j)ms−1
Particle P moves freely under gravity and hits the ground at B, as shown in Figure 6.
(a) Find the distance AB.
(4)
The speed of P is less than 5ms−1 for an interval of length T seconds.
(b) Find the value of T
(3)
At the instant when the direction of motion of P is perpendicular to the initial direction of motion of P, the particle is h metres above the ground.
(c) Find the value of h.
(4)
题目中文翻译
[ 本题中，i、j 为单位向量，其中 i 沿水平方向，j 沿竖直方向。 ]
固定点 A、B 位于水平地面上。
在 t=0 时，将质点 P 从 A 点以速度 (4i+7j)ms−1 抛出。
如图 6 所示，质点 P 仅在重力作用下自由运动，并在 B 点落地。
(a) 求距离 AB。
(4)
P 的速率小于 5ms−1 的时间区间长度为 T 秒。
(b) 求 T 的值。
(3)
当 P 的运动方向垂直于 P 的初始运动方向时，质点离地面 h 米。
(c) 求 h 的值。
(4)
解答
(a)
解法一
思路
展开
落点与起点等高，竖直位移为零。先求非零飞行时间，再乘恒定水平速度，最终给出按 g=9.8 计算的小数。
答题过程
展开
Let the flight time be tf>0. Vertically,
0=7tf−21gtf2.
Hence
tf=g14.
The horizontal speed is constant at 4 m s−1, so
AB=4tf=g56.
Therefore
AB=5.71 m.
(b)
解法一
思路
展开
速率小于 5 时，水平分量为 4，所以竖直速度必须介于 −3 与 3 之间。两个边界时刻之差才是区间长度。
答题过程
展开
At time t, the velocity is
v=4i+(7−gt)j.
The speed is less than 5 m s−1 when
16+(7−gt)2<25,
so
−3<7−gt<3.
Therefore
g4<t<g10.
The length of this interval is
T=g10−g4=g6.
Thus
T=0.612 s.
(c)
解法一
思路
展开
方向垂直要求速度与初速度的数量积为零，得到向下的竖直速度。再用竖直运动关系求离地高度，不能选向上的同速率状态。
答题过程
展开
Let the vertical velocity at the required instant be w. Perpendicularity gives
(4i+7j)⋅(4i+wj)=0.
Thus
16+7w=0,w=−716 m s−1.
The negative sign confirms that the particle is descending.
Using vertical motion from the ground,
w2=72−2gh.
Hence
(−716)2=49−2gh,
so
h=2g49−256/49.
Therefore
h=2.23 m.
解法二
思路
展开
也可直接由数量积求出时刻，再代入竖直位移式；这能独立核对高度与下降阶段。
答题过程
展开
At time t, perpendicularity requires
4(4)+7(7−gt)=0.
Thus
65−7gt=0,t=7g65.
The height is
h=7t−21gt2.
Substituting the unrounded value of t,
h=7(7g65)−21g(7g65)2.
Therefore
h=2.23 m.
