本题必须展示所有计算步骤。

不接受依赖计算器技术的解法。

质点 $P$ 沿直线运动。

在 $t$ 秒时，$P$ 的速率 $v\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 由连续函数给出：

其中 $k$ 为常数。

(a) 证明 $k=4$，并仔细解释所用的方法。

(b) 求 $t=1.5$ 时 $P$ 的加速度。

在 $t=0$ 时，$P$ 经过 $O$ 点。

(c) 求 $t=8$ 时 $P$ 到 $O$ 的距离。

连续性要求分段连接处两式相等。平方后要手算因式分解，并依据连接时间非负排除不合条件的根，最后回代原来的根式等式。

Since the speed function is continuous at the joining time $t=k$, its two expressions must agree there:

Squaring gives

Factorising,

Thus $k=-4/9$ or $k=4$. The joining time must satisfy $k\ge0$, so the negative root is rejected. Also, it would give a negative right-hand side in the original equation.

For $k=4$, both speed expressions give $\sqrt9=3=(3/4)(4)$, verifying continuity. Therefore

$1.5<4$，所以使用根式这一段。完整展示链式求导和代入，最后给精确分数。

For $0\le t\le4$,

Therefore

At $t=1.5$,

Hence

全程速率为正，运动方向不反转，所以到 $O$ 的距离等于两段速率积分之和。两段积分均展示原函数、上下限与手算值，不能把第二段的 $18$ 当成总距离。

The speed is positive throughout $0\le t\le8$, so there is no reversal of motion. Since $P$ starts at $O$, its distance from $O$ is

For the first interval, the chain rule gives

Thus

For the second interval,

Hence

so