一个粗糙平面与水平面成 $\alpha$ 角，其中 $\tan\alpha=\frac34$。

质量为 $m$ 的质点 $P$ 被保持静止在平面上的 $A$ 点。

随后将质点以速率 $u$ 沿平面的一条最大坡度线向上发射，质点在 $B$ 点瞬时静止。

质点与平面之间的摩擦系数为 $\frac17$。

(a) 证明质点从 $A$ 运动至 $B$ 时所受摩擦力的大小为 $\frac{4mg}{35}$。

已知 $u=\sqrt{10ag}$，利用功—能原理，

(b) 用 $a$ 表示 $AB$；

(c) 用 $a$ 和 $g$ 表示 $P$ 返回 $A$ 时的速率。

由斜率三角形求出正弦和余弦。支持力为重力垂直斜面的分量，再用摩擦系数求摩擦力，证明题要写出正确的三角比。

Since $\tan\alpha=3/4$ and $\alpha$ is acute,

Resolving perpendicular to the plane,

The frictional force opposes the upward motion and has magnitude

Therefore

按题目要求用功—能。上滑至停止时，初动能全部转化为势能增加和克服摩擦的功。

Let $AB=d$. At $B$ the speed is zero. By work-energy,

Using $u^2=10ag$ and the result of (a),

Thus

Cancelling $mg>0$ gives

so

重力沿坡分量大于摩擦，所以能从 $B$ 滑回。下滑时势能损失一部分被摩擦消耗，剩余变成动能；仍严格使用功—能。

The downslope component $3mg/5$ exceeds the friction magnitude $4mg/35$, so the particle slides back from $B$.

Let its speed on returning to $A$ be $V$. By work-energy for $B$ to $A$,

Substituting,

Hence

Therefore

也可研究整个往返过程。起终点高度相同，势能总变化为零，动能损失等于摩擦力乘以总路程 $14a$。

Over the complete journey $A\to B\to A$, the gravitational potential energy returns to its initial value. The total distance against friction is $14a$.

By work-energy,

Therefore

Thus

so