质量为 $m$ 的质点 $P$ 与质量为 $2m$ 的质点 $Q$，均静止在光滑水平面上。

将质点 $P$ 以速率 $u$ 沿平面向 $Q$ 发射，两质点发生碰撞。 两质点之间的恢复系数为 $e$。

碰撞使 $P$ 的运动方向反转。

(a) 用 $u$ 和 $e$ 表示碰撞后 $P$ 的速率。

碰撞后，$Q$ 继续运动并撞上垂直于其运动方向的固定竖直墙。$Q$ 与墙之间的恢复系数为 $\frac13$。

已知 $P$、$Q$ 发生第二次碰撞，

(b) 求 $e$ 的完整可能取值范围。

设 $P$ 碰后反向速率为 $v$，$Q$ 碰后向前速率为 $w$。动量方程中 $P$ 的末速度为负；恢复定律用分离速率除以接近速率。

Take the initial direction of $P$ as positive. After collision let the velocities of $P$ and $Q$ be $-v$ and $+w$ respectively.

Conservation of momentum gives

so

Newton’s law of restitution gives

so $w=eu-v$. Substituting into momentum,

Thus

and the speed of $P$ is

Since $P$ reverses, $v>0$, requiring $e>1/2$.

先求 $Q$ 的速率，再利用墙的恢复系数求其反弹速率。反弹后两粒子同向，$Q$ 从后面追赶 $P$，必须更快；同时保留 $P$ 反向带来的下限。

From momentum and (a),

The wall’s coefficient of restitution is $1/3$, so the rebound speed of $Q$ is

After the rebound, $P$ is ahead and both particles move away from the wall. A second collision requires $x>v$:

Since $u>0$,

so $e<4/5$. Combining this with the reversal condition $e>1/2$ gives

At the lower endpoint $P$ would stop rather than reverse; at the upper endpoint the rebound speeds would be equal and no second collision would occur.