质量为 $m$、长为 $2a$ 的均匀杆 $AB$，其 $A$ 端位于粗糙水平地面上，$B$ 端靠在光滑竖直墙上，处于极限平衡状态。 包含杆的竖直平面垂直于墙面。 如图 2 所示，杆与墙成 $\alpha$ 角。

杆与地面之间的摩擦系数为 $\frac13$。

(a) 证明 $\tan\alpha=\frac23$。

杆保持在同一位置，在 $A$ 点对杆施加大小为 $kmg$、指向墙面的水平力。该力的作用线垂直于墙面。

杆仍保持平衡。

(b) 求 $k$ 的最大可能值。

注意 $\alpha$ 是杆与墙的夹角。墙光滑，反力水平；地面摩擦指向墙。竖直平衡、极限摩擦与绕 $A$ 的力矩共同给出角度关系。

Let $R$ be the vertical ground reaction, $F$ the friction towards the wall at $A$, and $S$ the horizontal wall reaction away from the wall at $B$.

Resolving vertically,

Since the rod is in limiting equilibrium,

Resolving horizontally,

The angle to the vertical is $\alpha$. Taking moments about $A$,

Substituting $S=mg/3$ and cancelling $mga$,

Hence

新增水平力作用于 $A$，不影响绕 $A$ 的力矩或竖直平衡，所以墙反力和地面支持力均不变。力较大时地面摩擦反向；最大 $k$ 对应摩擦背离墙且达到极限。

The rod remains in the same position. The new force at $A$ has zero moment about $A$, so taking moments about $A$ again gives the same wall reaction:

Vertical equilibrium still gives $R=mg$.

Let $f_A$ be the signed ground friction, positive towards the wall. Horizontal equilibrium gives

so

Static friction must satisfy

Therefore

This gives $0\le k\le2/3$. At the maximum, friction acts away from the wall at its limiting value $mg/3$, and

Hence