题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

At time $t$ seconds, $t\geqslant0$ , a particle $P$ is moving with velocity $\mathbf{v}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ , where

\mathbf{v}=3(t+2)^2\mathbf{i}+5t(t+2)\mathbf{j}

Position vectors are given relative to the fixed point $O$

At time $t=0$ , $P$ is at the point with position vector $(-30\mathbf{i}-45\mathbf{j})\,\mathrm{m}$ .

(a) Find the position vector of $P$ when $t=3$

(4)

(b) Find the magnitude of the acceleration of $P$ when $t=3$

(4)

At time $T$ seconds, $P$ is moving in the direction of the vector $2\mathbf{i}+\mathbf{j}$

(2)

题目中文翻译

本题必须展示所有计算步骤。

不接受完全依赖计算器技术的解法。

在 $t$ 秒时， $t\geqslant0$ ，质点 $P$ 以速度 $\mathbf{v}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 运动，其中

\mathbf{v}=3(t+2)^2\mathbf{i}+5t(t+2)\mathbf{j}

位置向量均相对于固定点 $O$ 给出。

在 $t=0$ 时， $P$ 所在点的位置向量为 $(-30\mathbf{i}-45\mathbf{j})\,\mathrm{m}$ 。

(a) 求 $t=3$ 时 $P$ 的位置向量。

(4)

(b) 求 $t=3$ 时 $P$ 的加速度大小。

(4)

在 $T$ 秒时， $P$ 沿向量 $2\mathbf{i}+\mathbf{j}$ 的方向运动。

(2)

解答

(a)

解法一

思路

展开

按题目要求展示积分过程及初始条件。水平分量可直接积分为 $(t+2)^3$ ，这时积分常数为 $-38$ ，不能误当 $-30$ 。

答题过程

展开

Integrating the velocity components,

r_i=\int3(t+2)^2\,\mathrm{d}t=(t+2)^3+C_x,

r_j=\int(5t^2+10t)\,\mathrm{d}t=\frac53t^3+5t^2+C_y.

Using $\mathbf r(0)=-30\mathbf i-45\mathbf j$ ,

8+C_x=-30,\qquad C_y=-45.

Thus $C_x=-38$ and

\mathbf r=\bigl[(t+2)^3-38\bigr]\mathbf i+\left(\frac53t^3+5t^2-45\right)\mathbf j.

At $t=3$ ,

r_i=5^3-38=87,

r_j=\frac53(27)+5(9)-45=45.

Therefore

\boxed{\mathbf r(3)=(87\mathbf i+45\mathbf j)\text{ m}}.

(b)

解法一

思路

展开

加速度为速度导数，先展开竖直速度或用乘积法则，再代入时间，最后取模。

答题过程

展开

Differentiating the velocity,

\mathbf a=6(t+2)\mathbf i+(10t+10)\mathbf j.

At $t=3$ ,

\mathbf a=30\mathbf i+40\mathbf j\text{ m s}^{-2}.

Hence

|\mathbf a|=\sqrt{30^2+40^2}=\sqrt{2500},

\boxed{|\mathbf a|=50\text{ m s}^{-2}}.

(c)

解法一

思路

展开

所给方向的水平、竖直分量比为 $2:1$ 。列比例式后约去正的 $T+2$ ，最后检查是正倍数而非反向。

答题过程

展开

For motion in the direction $2\mathbf i+\mathbf j$ , the horizontal velocity must be twice the vertical velocity:

3(T+2)^2=2\bigl[5T(T+2)\bigr].

Since $T\ge0$ , $T+2>0$ . Cancelling $T+2$ gives

3(T+2)=10T,

6=7T.

Hence

\boxed{T=\frac67\text{ s}}.

At this time the vertical component $5T(T+2)$ is positive, so the velocity is a positive multiple of the required vector.

M2 2024 Oct Q1

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程