题目

Problem

A particle $Q$ of mass $3\,\mathrm{kg}$ is moving on a smooth horizontal surface.

Particle $Q$ is moving with velocity $5\mathbf{i}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ when it receives a horizontal impulse of magnitude $3\sqrt{82}\,\mathrm{N\,s}$ .

Immediately after receiving the impulse, the velocity of $Q$ is $(x\mathbf{i}+y\mathbf{j})\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ , where $x$ and $y$ are positive constants.

The kinetic energy gained by $Q$ as a result of receiving the impulse is $138\,\mathrm{J}$ .

Find, in terms of $\mathbf{i}$ and $\mathbf{j}$ , the velocity of $Q$ immediately after receiving the impulse.

(7)

题目中文翻译

质量为 $3\,\mathrm{kg}$ 的质点 $Q$ 在光滑水平面上运动。

质点 $Q$ 正以速度 $5\mathbf{i}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 运动，随后受到大小为 $3\sqrt{82}\,\mathrm{N\,s}$ 的水平冲量。

受到冲量后瞬间， $Q$ 的速度为 $(x\mathbf{i}+y\mathbf{j})\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ ，其中 $x$ 、 $y$ 为正常数。

受到冲量使 $Q$ 的动能增加了 $138\,\mathrm{J}$ 。

用 $\mathbf{i}$ 和 $\mathbf{j}$ 表示 $Q$ 受到冲量后瞬间的速度。

(7)

解答

解法一

思路

展开

冲量大小给速度变化的模，动能增加给末速率平方。联立两个平方关系，用相减消去 $y^2$ ；最后利用 $y>0$ 选根，结果仍写速度向量。

答题过程

展开

By impulse-momentum, the impulse vector is

\mathbf I=3\bigl[(x\mathbf i+y\mathbf j)-5\mathbf i\bigr]=3(x-5)\mathbf i+3y\mathbf j.

Its magnitude is $3\sqrt{82}$ N s, so

9(x-5)^2+9y^2=(3\sqrt{82})^2.

Dividing by 9,

(x-5)^2+y^2=82.

The gain in kinetic energy is 138 J:

\frac12(3)(x^2+y^2)-\frac12(3)(5^2)=138.

Thus

x^2+y^2-25=92,

x^2+y^2=117.

Subtracting the impulse equation from this equation,

x^2-(x-5)^2=117-82=35.

Expanding,

10x-25=35,\qquad x=6.

Then

y^2=117-36=81.

Since $y>0$ , $y=9$ . Therefore

\boxed{\mathbf v=(6\mathbf i+9\mathbf j)\text{ m s}^{-1}}.

M2 2024 Oct Q2

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解答

解法一

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