固定点 $X$、$Y$ 位于水平地面上。

在 $t=0$ 时，将质点 $P$ 从 $X$ 点以速率 $u\,\mathrm{m\,s^{-1}}$、与地面成 $\theta$ 角抛出。

质点 $P$ 仅在重力作用下自由运动，并在 $Y$ 点第一次落地。

(a) 证明 $XY=\frac{u^2\sin2\theta}{g}$。

$A$、$B$ 两点位于水平地面上。竖直杆 $CD$ 长 $5\,\mathrm{m}$。 $C$ 端固定于 $A$、$B$ 之间的地面上，其中 $AC=12\,\mathrm{m}$。

在 $t=0$ 时，将质点 $Q$ 从 $A$ 点以速率 $20\,\mathrm{m\,s^{-1}}$、与地面成 $60^\circ$ 角抛出。

如图 4 所示，质点 $Q$ 仅在重力作用下自由运动，越过杆顶，并在 $B$ 点第一次落地。

(b) 求距离 $CB$。

(c) 求 $Q$ 经过杆上方瞬间相对于 $D$ 的高度。

这是射程公式的证明，不能直接引用飞行时间或射程。先从竖直位移为零推导时间，再用水平运动和二倍角恒等式。

Let the nonzero flight time from $X$ to $Y$ be $t_f$. The horizontal and vertical initial velocity components are $u\cos\theta$ and $u\sin\theta$.

Since $X$ and $Y$ are at the same height, vertical motion gives

Dividing by $t_f>0$,

so

Horizontal motion then gives

Using $2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta$,

由上一问求整个射程 $AB$，再减去已知的 $AC=12$。不能把整个射程直接当成 $CB$。

Applying (a) to the projection of $Q$,

Since $C$ lies between $A$ and $B$,

Therefore

水平运动确定经过杆上方的时间。随后求离地高度，最后减去杆高 $5$，得到相对于 $D$ 的高度。

Let $t$ be the time when $Q$ is vertically above the pole. Horizontally,

so $t=1.2$ s.

Its height $h$ above the ground is

Since $D$ is 5 m above the ground, the height above $D$ is

Hence