质点 $P$ 的质量为 $5m$，质点 $Q$ 的质量为 $2m$。 两质点在光滑水平面上沿同一直线反向运动。 质点 $P$ 与质点 $Q$ 发生正碰。

碰撞前瞬间，$P$ 的速率为 $2u$，$Q$ 的速率为 $3u$。 碰撞后瞬间，$P$ 的速率为 $x$，$Q$ 的速率为 $y$。 碰撞使 $Q$ 的运动方向反转。

$P$ 与 $Q$ 之间的恢复系数为 $e$。

(a) 求使碰撞后 $P$ 的运动方向不变的 $e$ 的取值集合。

碰撞中，$Q$ 受到大小为 $\frac{60}{7}mu$ 的冲量。

(b) 证明 $e=\frac15$。

碰撞后，$Q$ 撞上垂直于其运动方向的光滑固定竖直墙。

质点 $Q$ 反弹，随后 $P$、$Q$ 发生第二次碰撞。

$Q$ 与墙之间的恢复系数为 $\frac13$。

(c) 用 $m$ 和 $u$ 表示 $Q$ 在 $P$、$Q$ 第二次碰撞中受到的冲量大小。

取 $P$ 碰前方向为正，要求碰后 $P$ 仍向正方向，所以 $x>0$。$Q$ 已知反向，末速度为正；由动量与恢复定律消元，保留恢复系数的下限。

Take the initial direction of $P$ as positive. For the required unchanged direction, the final velocities are $+x$ for $P$ and $+y$ for $Q$.

Conservation of momentum gives

so

Newton’s law of restitution gives

Thus $y=x+5eu$, and substitution gives

Hence

The direction of $P$ is unchanged only if $x>0$, requiring $e<2/5$. Also $e\ge0$. The corresponding $Q$ velocity is

consistent with its reversal. Therefore

$Q$ 从负速度变为正速度，冲量对应两速率之和。先求 $y$，再利用动量求 $x$，最后从接近与分离速率的比推出给定分数。

The impulse on $Q$ acts in the positive direction. Therefore

Dividing by $2m$,

so

Using momentum from (a),

Thus

and hence

墙反弹后 $Q$ 的速度为 $-3u/7$，$P$ 仍为 $+2u/7$。第二次碰撞须重新列有符号动量与恢复定律，求出 $Q$ 的末速度后再算冲量；不能把撞墙冲量当成粒子间的第二次冲量。

After its wall impact, $Q$ rebounds with speed

Using the same positive direction as before, the velocities immediately before the second particle collision are

Let their velocities immediately afterwards be $V_P$ and $V_Q$.

Conservation of momentum gives

so

The coefficient between the particles remains $e=1/5$. Hence

Substituting $V_Q=V_P+u/7$ into momentum,

Thus

The impulse received by $Q$ is

It is positive, so its magnitude is