本题必须展示所有计算步骤。

不接受完全依赖计算器技术的解法。

在 $t=0$ 时，质点 $P$ 位于固定点 $O$。

在 $t$ 秒时，$t>0$，$P$ 相对于 $O$ 的位置向量为 $\mathbf{r}$ 米，其中

(a) 求 $P$ 沿向量 $\mathbf{i}$ 的方向运动的瞬间的速率。

(b) 求 $t=0.25$ 时 $P$ 的加速度大小。

(c) 证明 $P$ 不会再返回 $O$。

先求速度向量。沿正 $\mathbf i$ 运动要求竖直速度为零，且水平速度为正；本问最终求的是标量速率。

Differentiating the position vector,

For motion in the direction $\mathbf i$,

At this time,

Thus the direction is positive $\mathbf i$, and the speed is

对根式速度再次求导时，负号与负指数相乘得到正号。代入 $t=1/4$，展示根式及模的手算化简，避免依赖计算器给数值。

Differentiating the velocity,

At $t=1/4$,

so

Hence

and therefore

返回原点要求两个位置分量同时为零。先由竖直分量找出唯一可能的正时间，再证明此时水平分量不为零。

For $P$ to return to $O$, both position components must be zero. The vertical component requires

Since a return requires $t>0$, the only candidate is $t=6$.

At $t=6$, however, the horizontal component is

Since $\sqrt7<3$, this is greater than $20-6=14>0$. Hence the two components cannot be zero simultaneously, so $P$ never returns to $O$.

也可利用水平速度恒正说明水平位置一直增加。这个结论比只看加速度更直接，能排除所有正时间。

For every $t>0$,

Therefore the horizontal velocity satisfies

The particle starts with horizontal coordinate zero and thereafter its horizontal coordinate strictly increases. It can therefore never return to $O$.