[ 本题中，$\mathbf{i}$、$\mathbf{j}$ 为沿水平方向且相互垂直的单位向量。 ]

质量为 $2\,\mathrm{kg}$ 的质点 $Q$ 在光滑水平面上运动。

质点 $Q$ 正以速度 $4\mathbf{i}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 运动，随后受到水平冲量 $\mathbf{I}\,\mathrm{N\,s}$。 $\mathbf{I}$ 的大小为 $4\sqrt{10}\,\mathrm{N\,s}$。

受到冲量后瞬间，$Q$ 的速度为 $\lambda(\mathbf{i}+\mathbf{j})\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，其中 $\lambda$ 为正常数。

(a) 求 $\lambda$ 的值。

(b) 用 $\mathbf{i}$ 和 $\mathbf{j}$ 表示 $\mathbf{I}$。

冲量方向与 $Q$ 初始运动方向之间的夹角为 $\theta^\circ$。

(c) 求 $\theta$ 的值。

冲量等于动量变化。取模平方后得到关于 $\lambda$ 的二次式，完整因式分解并舍去负根。

By impulse-momentum,

Its magnitude is $4\sqrt{10}$ N s, so

Expanding,

Since $\lambda>0$, reject $-2$. Thus

初末动量方向相差 $45^\circ$。把冲量视为两动量向量之差，以余弦定理列出同一二次关系，提供几何核对。

The initial momentum has magnitude $2(4)=8$ N s. The final momentum is $2\lambda(\mathbf i+\mathbf j)$, with magnitude $2\sqrt2\lambda$ N s and direction $45^\circ$ to the initial momentum.

The impulse is the difference of these momentum vectors.

By the cosine rule in the momentum triangle,

Thus

Taking the positive root gives

把 $\lambda=6$ 代回有方向的冲量表达式，并按题目要求写成 $\mathbf i,\mathbf j$ 形式。

Using $\lambda=6$,

Therefore

初始方向是正 $\mathbf i$。冲量两分量均为正，所求角在第一象限；这是冲量方向角，不是末速度的 $45^\circ$。

The initial direction is positive $\mathbf i$. Since $\mathbf I=4\mathbf i+12\mathbf j$, the angle satisfies

Both components are positive, so