均匀长方形薄片 $ABCD$ 满足 $AB=8a$，$AD=ka$。 等腰三角形 $AED$ 满足 $AE=DE$，且三角形对应的高为 $6a$。 从长方形中挖去三角形 $AED$，形成图 4 阴影所示的模板。

模板质心到 $AD$ 的距离为 $d$。

(a) 证明 $d=\frac{26}{5}a$。

将两块全等长方形薄片连接于模板，形成图 5 所示的模型 $PQRSDEA$，每块长方形薄片长为 $8a$、宽为 $\frac12ka$。

• 两块长方形薄片与模板均位于同一平面内；
• 长方形薄片 $PQBA$ 的单位面积质量为模板的三倍；
• 长方形薄片 $DCRS$ 的单位面积质量为模板的三倍。

模型 $PQRSDEA$ 从 $P$ 点自由悬挂并处于平衡状态，$PS$ 与竖直向下方向成 $\theta$ 角。

(b) 用 $k$ 表示 $\tan\theta$ 的精确值。

用原长方形减去三角形的面积矩。三角形的高沿垂直于 $AD$ 的方向，其质心距底边 $AD$ 为 $6a/3$。

The rectangle has area

and its centroid is $4a$ from $AD$.

The removed triangle has area

and its centroid is $6a/3=2a$ from $AD$.

The remaining template has area $5ka^2$. Taking moments of areas about $AD$,

Thus

Cancelling $5ka^2$ gives

两块附加薄片的面密度为三倍，每块面积为 $4ka^2$，所以相对质量为 $12ka^2$。先求距 $PS$ 的坐标，再用对称性求距 $PQ$ 的坐标；悬挂时 $PG$ 竖直，角度相对于 $PS$。

Let the template’s mass per unit area be $\sigma$. Its mass is $5\sigma ka^2$.

Each attached rectangle has area

so its mass is $3\sigma(4ka^2)=12\sigma ka^2$. The total model mass is therefore

Let $G$ be the centre of mass, and let $\bar x$ be its perpendicular distance from $PS$. The template’s centroid is $26a/5$ from $PS$, and each added rectangle’s centroid is $4a$ from $PS$.

Taking moments about $PS$,

Thus

so

By symmetry about the horizontal centre line in Figure 5, $G$ is half the total height $2ka$ below $PQ$. Therefore

When suspended from $P$, $PG$ is vertically downwards. The angle between $PS$ and $PG$ satisfies

Hence