均匀杆 $AB$ 长 $8a$，重 $12W$。 杆的 $A$ 端通过自由铰链连接于竖直墙上的固定点。 杆位于垂直于墙面的竖直平面内。 一个重为 $W$ 的质点连接于杆的 $B$ 点。 一根长为 $5a$ 的不可伸长轻绳的一端连接于杆上的 $C$ 点，其中 $AC=5a$。 绳的另一端连接于墙上的 $D$ 点，$D$ 在 $A$ 上方，且 $AD=8a$。 如图 6 所示，$\angle DAC=\angle ADC=\theta$。

杆与质点处于静止平衡状态。

绳中的张力为 $T$。

(a) 证明 $T=7W$。

$A$ 点处铰链施加于杆的力的方向位于杆上方，与杆成 $\alpha^\circ$ 角，其中 $0<\alpha<90$。

(b) 求 $\alpha$ 的值。

证明题先从等腰三角形推导三角比，不能直接猜力臂。$AC=CD=5a$、$AD=8a$，中线把它分成 $3:4:5$ 直角三角形；随后对铰链取矩。

Triangle $ACD$ is isosceles, with $AC=CD=5a$ and $AD=8a$. Let $M$ be the midpoint of $AD$. Then

Thus

The rod’s weight $12W$ acts at its midpoint, $4a$ from $A$. The particle’s weight $W$ acts $8a$ from $A$.

The angle between the rod direction $AC$ and the tension direction $CD$ is $2\theta$. Taking moments about $A$,

Using $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$ and cancelling $a\sin\theta$,

Hence

so

先求铰链力的水平、竖直分量。题目角度是铰链力相对于杆，而非相对于竖直；两者的竖直方向角相减才是所求。

Let the hinge force have components $H$ horizontally away from the wall and $V$ vertically upwards.

The tension acts towards $D$, so resolving horizontally,

Resolving vertically,

so

Let the hinge force make angle $\beta$ with the upward vertical. Then

The rod makes angle $\theta$ with the upward vertical, where $\tan\theta=3/4$. Since $21/37<3/4$, the hinge force is above the rod, and

Therefore

也可直接沿杆和垂直杆分解铰链力，得到相对于杆的角度。这样不需要求两个绝对方向角，且可独立检查角度定义。

Let the hinge force have components $R_{\parallel}$ along $AB$ and $R_{\perp}$ perpendicular to the rod on its upper side.

Along the rod, equilibrium gives

Since

we obtain

Perpendicular to the rod,

Using $\sin2\theta=24/25$,

Thus

and therefore