质点 $P$ 的质量为 $m$，质点 $Q$ 的质量为 $km$，其中 $k$ 为常数。 两质点在光滑水平面上沿同一直线反向运动。 质点 $P$ 与 $Q$ 发生正碰。

碰撞前瞬间，$P$ 的速率为 $6u$，$Q$ 的速率为 $u$。 碰撞后瞬间，$P$ 的速率为 $2v$，$Q$ 的速率为 $3v$。

碰撞的结果为：

• $P$ 的运动方向不变；
• $Q$ 的运动方向反转。

$P$ 与 $Q$ 之间的恢复系数为 $\frac13$。

(a) 仅用 $u$ 表示 $v$。

(b) 求 $k$ 的值。

碰撞后，$Q$ 撞上垂直于其运动方向的光滑固定竖直墙。 质点 $Q$ 反弹，随后 $P$、$Q$ 发生第二次碰撞。

$P$、$Q$ 第一次碰撞的位置距墙 $d$。

$P$、$Q$ 第二次碰撞的位置距墙 $\frac17d$。 $Q$ 与墙之间的恢复系数为 $f$。

(c) 求 $f$ 的值。

碰前相向，接近速率为 $7u$；碰后同向，分离速率为 $3v-2v$。恢复系数不能把这两项颠倒。

The approach speed is $6u+u=7u$. The separation speed is $3v-2v=v$.

Newton’s law of restitution gives

Hence

动量守恒使用有符号速度：碰前 $Q$ 为负，碰后两者为正。代入上一问的 $v$ 后解质量比。

Take the initial direction of $P$ as positive. Conservation of momentum gives

Dividing by $mu$ and using $v/u=7/3$,

Thus

and hence

以两次粒子碰撞之间的总时间比较。$P$ 向墙行进 $6d/7$；$Q$ 先到墙走 $d$，再反弹走 $d/7$。两阶段速度不同，必须分别计算时间。

After the first collision the speeds are $2v$ for $P$ and $3v$ for $Q$. After rebounding from the wall, $Q$ has speed $3fv$.

The second collision is $d/7$ from the wall, so $P$ travels $d-d/7=6d/7$. Its time between collisions is

For $Q$, the time is the sum of its journey to the wall and its rebound journey:

Equating the times and cancelling $d/v$,

Thus

so

也可从 $Q$ 撞墙的瞬间重新计时。先求此时 $P$ 的位置，再算两者到第二次碰撞点的路程，比较剩余时间。

The time taken by $Q$ to reach the wall is

In this time $P$ travels

so it is still $d/3$ from the wall.

From then until the second collision, $P$ travels

while $Q$ rebounds through distance $d/7$.

Their times for these remaining journeys are equal:

Therefore

and hence