题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

A particle $P$ moves on the $x$ -axis. At time $t$ seconds, $0\leqslant t\leqslant3$ , the displacement of $P$ relative to the origin is $x$ metres where

x=2t^4-14t^3+\frac{45}{2}t^2+14t

(a) Verify that $P$ is at instantaneous rest when $t=2$

(3)

Given that this is the only value of $t$ , in the interval $0\leqslant t\leqslant3$ , for which $P$ is at rest,

(b) find the total distance travelled by $P$ in the interval $0\leqslant t\leqslant3$

(2)

(3)

题目中文翻译

本题必须展示所有计算步骤。

不接受完全依赖计算器技术的解法。

质点 $P$ 沿 $x$ 轴运动。在 $t$ 秒时， $0\leqslant t\leqslant3$ ， $P$ 相对于原点的位移为 $x$ 米，其中

x=2t^4-14t^3+\frac{45}{2}t^2+14t

(a) 验证 $t=2$ 时 $P$ 瞬时静止。

(3)

已知这是时间区间 $0\leqslant t\leqslant3$ 内使 $P$ 静止的唯一 $t$ 值，

(b) 求 $P$ 在时间区间 $0\leqslant t\leqslant3$ 内运动的总路程。

(2)

(3)

解答

(a)

解法一

思路

展开

位移先求导得到速度，再代入指定时刻。题目要求展示手算过程。

答题过程

展开

Differentiating the displacement,

v=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=8t^3-42t^2+45t+14.

At $t=2$ ,

v=64-168+90+14=0.

Hence $P$ is instantaneously at rest when $t=2$ .

(b)

解法一

思路

展开

在唯一的静止时刻分段，把各段位移的绝对值相加，不能只算终点与起点之差。

答题过程

展开

The positions at the endpoints and the turning point are

x(0)=0,\qquad x(2)=32-112+90+28=38,

x(3)=162-378+\frac{405}{2}+42=\frac{57}{2}.

Also,

v=(4t+1)(t-2)(2t-7),

so $v>0$ for $0\leq t<2$ and $v<0$ for $2<t\leq3$ . Therefore the total distance is

38+\left(38-\frac{57}{2}\right)=\boxed{\frac{95}{2}\text{ m}}.

(c)

解法一

思路

展开

加速度是速度的导数；最后求大小，要取绝对值。

答题过程

展开

a=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=24t^2-84t+45.

At $t=1.5$ ,

a=54-126+45=-27\text{ m s}^{-2}.

The magnitude is therefore $\boxed{27\text{ m s}^{-2}}$ .

M2 2025 June A Q1

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程