[ 本题可直接使用均匀圆扇形的质心公式，无须证明。 ]

均匀正方形薄片 $ABCD$ 的边长为 $2a$。

从正方形薄片中挖去以 $AB$ 为直径的半圆形薄片。

再将该半圆形薄片连接于 $BC$，形成图 1 阴影所示的均匀薄片 $L$。

$L$ 的质心到 $AD$ 的距离为 $\bar{x}$。

(a) 证明

薄片 $L$ 的重量为 $W$。 一个重为 $kW$ 的质点连接于 $L$ 的 $D$ 点，形成加载薄片。

现在用两根竖直轻绳悬挂加载薄片，第一根绳连接于 $A$，第二根连接于 $B$。

加载薄片自由悬挂并处于平衡状态，$DC$ 水平。

已知连接于 $A$ 的绳中张力为 $4T$，连接于 $B$ 的绳中张力为 $T$，

(b) 求 $k$ 的精确值。

以距 AD 的水平距离取面积矩。挖去的半圆作负面积，移到 BC 外侧的半圆作正面积；总面积仍为原正方形面积。

Let the common area density be $\sigma$. A semicircular lamina of radius $a$ has its centre of mass at distance $4a/(3\pi)$ from its diameter. The square has area $4a^2$ and centroid distance $a$ from $AD$. The removed semicircle has area $\pi a^2/2$ and centroid distance $a$ from $AD$. The attached semicircle has the same area and centroid distance $2a+4a/(3\pi)$ from $AD$. Taking moments about $AD$ and cancelling $\sigma$,

Thus

绕 A 取矩时，D 点附重与 A 的拉力都没有力矩。先求 T 与 W 的关系，再用竖直平衡求 k。

Since $DC$ is horizontal, the string at $B$ has moment arm $2a$ about $A$. The attached particle at $D$ lies vertically below $A$ and has zero moment about $A$. Taking moments about $A$,

Vertical equilibrium gives

Hence