题目

Problem

A particle $P$ of mass $0.5\,\mathrm{kg}$ is moving with velocity $6\mathbf{i}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ in the $xy$ plane.

The particle receives an impulse $(a\mathbf{i}+b\mathbf{j})\,\mathrm{N\,s}$ , where $a$ and $b$ are constants.

As a result of the impulse, the direction of motion of $P$ is deflected through $45^\circ$

The impulse has magnitude $\frac{3\sqrt2}{2}\,\mathrm{N\,s}$ .

Find the two possible impulses, giving your answers in terms of $\mathbf{i}$ and $\mathbf{j}$ .

(8)

题目中文翻译

质量为 $0.5\,\mathrm{kg}$ 的质点 $P$ 在 $xy$ 平面内以速度 $6\mathbf{i}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 运动。

质点受到冲量 $(a\mathbf{i}+b\mathbf{j})\,\mathrm{N\,s}$ ，其中 $a$ 、 $b$ 为常数。

冲量使 $P$ 的运动方向偏转 $45^\circ$ 。

冲量大小为 $\frac{3\sqrt2}{2}\,\mathrm{N\,s}$ 。

求两个可能的冲量，用 $\mathbf{i}$ 和 $\mathbf{j}$ 表示答案。

(8)

解答

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偏转 45° 可以在初方向的上方或下方，因此末速度的两个分量大小相等，水平分量为正。用冲量等于动量变化，再用已知冲量大小求末速度。

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Since the initial direction is the positive $x$ direction, write the final velocity as

\boldsymbol v=\lambda\boldsymbol i\pm\lambda\boldsymbol j,\qquad \lambda>0.

The two signs represent deflections through $45^\circ$ above or below the initial direction. The impulse is

\boldsymbol I=\frac12(\boldsymbol v-6\boldsymbol i)=\left(\frac\lambda2-3\right)\boldsymbol i\pm\frac\lambda2\boldsymbol j.

Using its magnitude,

\left(\frac\lambda2-3\right)^2+\left(\frac\lambda2\right)^2=\left(\frac{3\sqrt2}{2}\right)^2,

\frac{\lambda^2}{2}-3\lambda+9=\frac92,

\lambda^2-6\lambda+9=0,\qquad (\lambda-3)^2=0.

Thus $\lambda=3$ , and the two possible impulses are

\boxed{\left(-\frac32\boldsymbol i+\frac32\boldsymbol j\right)\text{ N s}}\quad\text{and}\quad\boxed{\left(-\frac32\boldsymbol i-\frac32\boldsymbol j\right)\text{ N s}}.